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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
xy''+(a-x)y'+by=0の特異点を調べるには・・・
まず基本の形、y''+p(x)y'+q(x)y=0の形に直します。
p(x)=(a-x)/x
q(x)=b/x
x=0はp(x)の1位の極、q(x)の1位の極なので確定特異点です。
次に、x=∞の様子を調べるためにx=1/tに変換して、t=0を調べます。
y'=(dt/dx)(dy/dt)=-t^2(dy/dt)
y''=-t^2(d/dt){-t^2(dy/dt)}=t^4(d^2y/dt^2)+2t^3(dy/dt)
に注意して基本の形にすると
p={1-(a-2)t}/t^2
q=b/t^3
よってx=∞(t=0)はpの2位の極、qの3位の極なので確定特異点です。
x=aにおいて、p、qが両方とも極を持たなければx=aは通常点。
両方とも極を持てば確定特異点。
一方が極を持ち、他方が極を持たなければ不確定特異点です。
例えばx^3(x+1)y''+2x^3y'+y=0はx=-1が確定特異点、x=0が不確定特異点であり、x=∞は通常点です。興味があれば調べてみて下さい。
No.3
- 回答日時:
xy''+(a-x)y'+by=0の特異点の正しい判別方法です。
まず基本の形、y''+p(x)y'+q(x)y=0の形に直します。
p(x)=(a-x)/x
q(x)=b/x
x=0はp(x)の1位の極、q(x)の1位の極なので確定特異点です。
次に、x=∞の様子を調べるためにx=1/tに変換して基本の形にすると
p={1-(a-2)t}/t^2
q=b/t^3
x=∞(t=0)はpの2位の極、qの3位の極なので不確定特異点です。
x=aにおいて、p、qが両方とも極を持たなければx=aは通常点。
pが1位の極、またはqが1位または2位の極を持てば確定特異点。
pが2位以上の極、またはqが3位以上の極を持てば不確定特異点です。
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