画像について、定積分しているところから何をやってるのかがわかりません。説明をいただきたいです。

Question

画像について、

定積分しているところから何をやってるのかがわかりません。 
説明をいただきたいです。

masterkoto · Accepted Answer

最後の文章を修正しました。

画像中段、「より、断面積は、」につづくtの2次関数s(t)をグラフにすると画像のとおり
（ただしtはhからの距離）
s,h^2は定数だからs(t)は頂点が原点のシンプルな放物線となります。
（式からも、グラフからも断面積s(t)はhから離れるほどより大ききなるなることがわかります。）
さてここで、グラフでtを非常に細かく分割して微小な区間１つを選び出すことにします。→青で囲って示した部分。
すると、この青で示した部分の横幅は非常に短いため、s(t1)とs(t2)はほぼ同じ、差は非常に小さい　という事になります。
そこで青の部分は長方形とみなしてしまうと、グラフのこの長方形の面積は
質問欄の画像において
s(t1)x{(t2)-(t1)}=(t1における断面積)x(t1における微小な高さ)
=t1からt2までの微小な区間における立体(ほぼ直方体）の体積
ということになります。

グラフでtを非常に細かく分割した他の微小な区間も上と同様に微小な区間における立体(ほぼ直方体）の体積を表しますから、それらを足し合わせると質問欄の画像においては四角錐の体積になり、グラフにおいては放物線とt軸とt=hで囲まれる部分の面積になります。
つまり、グラフを定積分して得られる放物線とt軸とt=hで囲まれる部分の面積は、四角錐の体積を表すことになります。

これが、画像の定積分の意味です＾＾

masterkoto · Answer

画像中段、「より、断面積は、」につづくtの2次関数s(t)をグラフにすると画像のとおり
（ただしtはhからの距離）
s,h^2は定数だからs(t)は頂点が原点のシンプルな放物線となります。
（式からも、グラフからも断面積s(t)はhから離れるほどより大ききなるなることがわかります。）
さてここで、グラフでtを非常に細かく分割して微小な区間１つを選び出すことにします。→青で囲って示した部分。
すると、この青で示した部分の横幅は非常に短いため、s(t1)とs(t2)はほぼ同じ、差は非常に小さい　という事になります。
そこで青の部分は長方形とみなしてしまうと、グラフのこの長方形の面積は
質問欄の画像において
s(t1)x{(t2)-(t1)}=(t1における断面積)x(t1における微小な高さ)
=t1からt2までの微小な区間における立体(ほぼ直方体）の体積
ということになります。

グラフでtを非常に細かく分割した他の微小な区間も上と同様に微小な区間における立体(ほぼ直方体）の体積を表しますから、それらを足し合わせると質問欄の画像においては四角錐の体積になり、グラフにおいては放物線とt軸とt=hで囲まれる部分の面積になります。
結局グラフを定積分するとこの四角錐の体積を表すことになります。

これが、画像の定積分の意味です＾＾

sc348253 · Answer

s:s(t)=h^2:t^2 とは、底面積は高さの二乗に比例するという意味です。
比の性質からs(t)=s・t^2/h^2  ……(1)
tは、0からhまでのある点を表す！
角錐の体積V=∫ 0…h s(t)dt
(1)を代入して
=∫ 0…h  (s/h^2)・t^2 dt
=(s/h^2)・［ t^3   /3］h→0
=(1/3)・(s/h^2)・(h^3)
=(1/3)・sh

意味的には、面積の積分と同じように、
体積も小さな面積を集めていく区分求積法の考えです！

konjii · Answer

まず、投影した面積は距離の２乗に比例するはOKですね。式で表すと、距離ｈの面積をSとすると、距離ｈより小さいｔではS（ｔ）（ｔは
ｙ軸の０からｈの間にある点ｔのことです。）S:S(t)＝ｈ²：ｔ²です。内項の積＝外項の積からS(t)＝（ｔ²/ｈ²）S　式の右辺の変数はｔのみです。
積分のS(t)ｄｔは高さの微小（ｄｔ）な立方体の体積です。この微小な立方体をｙ＝ｈからｙ＝０まで足し合わせることを定積分（区間を指定しているから。指定しない場合は不定積分と呼び定数Cが付きますが、定積分ではｙ＝ｈの時のCとｙ＝０の時のCが相殺されてなくなります。）と言います。∫の記号は足せと言う意味です。∑（０からｈ）の高級なものと考えておきましょう。
微小な立方体をｙ＝ｈからｙ＝０まで足すと大きな体積になります。その体積が四角錐の体積です。
同じことを三角錐、ｎ角錐、円錐でもできます。もっと勉強すると球の体積も求まります。
四角錐の体積V＝∫S(t)ｄｔ（微小な立方体S(t)ｄｔをｙ＝ｈからｙ＝０まで足せと言う意味です）
あとは積分の公式でS/ｈ²∫ｔ²ｄｔ＝S/ｈ²（１/3h³－１/3０³）＝１/3・Sh
中学で錐や球の体積に必ず１/3が付いていたのは定積分したためですね。

diff3356 · Answer

大雑把に表現して、
超薄厚、刻々と大きさの変わる相似四角形の体積(S(t)*dt)をすべて加えると全体(四角錐)の体積になるということです。

画像について、 定積分しているところから何をやってるのかがわかりません。 説明をいただきたいです。

最後の文章を修正しました。

画像中段、「より、断面積は、」につづくtの2次関数s(t)をグラフにすると画像のとおり

s:s(t)=h^2:t^2 とは、底面積は高さの二乗に比例するという意味です。

まず、投影した面積は距離の２乗に比例するはOKですね。

大雑把に表現して、

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