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冪集合は完全加法族(σ-加法族)である
の証明をお願いします

A 回答 (2件)

何の冪集合の話かに依ります。

たとえば実数全体がなす集合Rの冪集合は非可測集合を含むから完全加法族ではない。
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(1)σ-加法族の定義を書いてください。



(2)冪集合とはどういう集合か説明してください。

この2点を押さえていなければ何もできません。ご確認ください。
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Qσ-加法族について

Ωを任意の集合とし,Ωの部分集合の族でσ-集合体になっているものをA,Bとする.
このとき、A∪Bは必ずしもσ-加法族にならないことを反例をもって示せ.
(ヒント:Ω={1,2,3,4,5}として考えてみよ.)

という問題が出ました。
例えば
A={{1},{2,3,4,5},Ω,φ}
B={{2,3},{1,4,5},Ω,φ} とすると
A∪B={{1},{2,3,4,5},{2,3},{1,4,5},Ω,φ}となります。
これはσ-集合体の条件である
(1)E∈F ⇒ E^c∈F
(2)Ei(i=1,2,...)∈F ⇒ ∪[i=1~∞]Ei∈F
という条件を満たすので判例とはなりません。

色々ためしてみたのですが判例とはなりえませんでした。どこか勘違いしているように思います。
ご教授いただけたら幸いです。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

(2)は「Fの任意の高々可算個の和はFの元である」という意味です。

EiはFのすべての元とは限りません。
無限個の集合和の場合でも、
E1={1}、E2=E3=E4=・・・・={2,3}
ということも考えられます。

Qσ-加法族の具体例

すみません。

大学数学についての質問です。

σ-加法族の定義は知っているのですが、なかなか具体例を構成できずに困っています。

σ-加法族の例をなるべく多く挙げてくれませんか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

wikiにある程度ありますけど
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%8A%A0%E6%B3%95%E6%97%8F#.E4.BE.8B


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