グラフの概形から微分方程式を推定する以下の数学の問題の解き方を教えてください。正答は1.です

グラフの概形から微分方程式を推定する以下の数学の問題の解き方を教えてください。正答は1.です

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/05 00:06

グラフからすると「減衰のある単振動」ですね。

ポイントは「周期」です。

減衰を無視すると、単振動は、角速度を ω として
　d²f/dt² = - ω²f
なので
　d²f/dt² + ω²f = 0

グラフから、周期は約2秒なので、周期を T としたとき
　ω = 2パイ/T = 2パイ/2 = パイ
従って
　ω² = (パイ)^2 ≒ 9.85 ≒ 10

これから「１」と推定できます。

ちなみに「減衰項」である df/dt の係数は、減衰定数を b>0 として
　d²f/dt² = - ω²f - b*df/dt
の形になるので、「１」で問題ありません。

この回答へのお礼

単振動であることに気づけば一発なのですね。ありがとうございました！

お礼日時：2018/06/05 04:34

No.2 回答者： niratm 回答日時： 2018/06/05 00:27

選択肢にある各式について、どんな形になるかがわからないときは、

消去法で考えてみると良いかもしれません。

泥臭い解き方ですが、微分が接線の傾き、2回微分が接線の傾きの変化、であることだけ抑えておけば解けます。

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t = 1辺りの傾き0になっているところを見ると、
　f(t) ＜ 0
　df(t)/dt ＝ 0　　　(傾きが０)
　d^2f(t)/dt^2 ＞ 0　(傾きが(正に)大きくなっていく)
がわかります。

これより、選択肢No2,No5は除外できます。


次に、t = 1.6辺りのf(t) = 0となっている箇所を確認すると、
　f(t) ＝ 0
　df(t)/dt ＞ 0　　　(傾きが正)
　d^2f(t)/dt^2 ＜ 0　(傾きが小さくなっていく)
がわかります。
これより、No4も除外できます。


残るはNo1、No3ですが、
問題文にある条件：f(0) = 2、df(0)/dt = -2
から、
No1 → d^2f(0)/dt^2 + 6 = 0
No3 → d^2f(0)/dt^2 = 0
となります。
グラフから、t=0からtが進むにつれて、
傾きは小さく(負数として大きく)なっていますので、
No3が除外されます。

残ったのがNo1となります。


※t = 0のところは、
※グラフだとちょっとわかりづらいですが、
※もし傾き-2のままだったら、f(1)=0になってしまいますが、
※t=0.5辺りでf(t)=0となっているので、
※負の傾きが-2よりきつくなっていっていることがわかります

この回答へのお礼

実践的な解き方を示していただきありがとうございました！

お礼日時：2018/06/05 04:32