ポテンシャルエネルギーと力に関する以下の問題の解き方を教えてください。ポテンシャルをUとすると力Fは

ポテンシャルエネルギーと力に関する以下の問題の解き方を教えてください。ポテンシャルをUとすると力Fは
Fx = ∂U/∂x Fy= ∂U/∂y (これはあっていますか？)
だから、与えられたFx , Fyをそれぞれ積分可能であれば保存される、と解釈したらア、イ、ウすべて積分可能になってしまいいまいち問題の意図がわからなくなってしまいました。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/06/09 21:37

>Fx = ∂U/∂x Fy= ∂U/∂y (これはあっていますか？)

マイナスの符号がつきます。

保存力である場合、始点と終点が決まっていれば経路によらず力を積分したものの値が等しくなければなりません。
たとえば(0,0)から(1,1)に移動させる場合、
(0,0) -x軸上→(1,0) -y軸に平行→(1,1)
(0,0) -y軸上→(0,1) -x軸に平行→(1,1)
(0,0) -直線上→(1,1)
などのどんな経路をとろうとも積分した結果が等しくなければなりません。

任意の経路で積分した結果が全て等しいということを示す一番簡単な方法はその力の回転が常に0であることを示せばよい。
というのは、A,B2点を結ぶ任意の二つの経路C1,C2において
∫_C1 [A→B] F・dr = ∫_C2 [A→B] F・dr
が成り立つとすると
∫_C1 [A→B] F・dr - ∫_C2 [A→B] F・dr = ∫_C1 [A→B] F・dr + ∫_C2 [B→A] F・dr = ∮_(C1+C2) F・dr = 0
となります。
この式にストークスの定理を適応すると
∮_(C1+C2) F・dr = ∫_S rotF・ds = 0
これが任意の面Sにおいて成り立つということになります。
そのためには常に
rotF=0(ベクトル)
とならなければなりません。

この回答へのお礼

rotF=0を確認すればいいのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2018/06/10 11:16

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/09 22:37

基礎知識不足ですね。

保存力では積分経路に関わらず、始点と終点だけで線積分の
値が決まらなければなりません。
問題は、そのこととその検証方法を知っているか問うているのです。
積分出来るだけでは全然足りません。

条件を満たすには任意の周回積分が0になる必要があり、
これはストークスの定理から rotF=0 と同値です。
従ってやるべきことは、rotFの計算だけ。

写真からは次数が判読不能なので、計算出来ませんね。
シンプルな微分なので、簡単なはずです。