実数x、yがx≧0、y≧0、x+2y=4を満たしているときx^2+xy-4y^2の最大値と最小値及び

実数x、yがx≧0、y≧0、x+2y=4を満たしているときx^2+xy-4y^2の最大値と最小値及びその時のx、yの値を求めよ。
こちらの解法を教えてください。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/06/10 16:03

x≧0, y≧0, x+2y=4

x=4-2y≧0
0≦x≦4, 0≦y≦2

x²+xy-4y²
=(4-2y)²+(4-2y)y-4y²
=-2y²-12y+16
=-2(y+3)²+34
0≦y≦2 なので
3≦y+3≦5
9≦(y+3)²≦25
-50≦-2(y+3)²≦-18
-16≦与式≦16
それぞれの等号成立条件を検証すると
x=0, y=2 の時 最小値 -16
x=4, y=0 の時 最大値 16

No.2 回答者： きたかぜ0909 回答日時： 2018/06/10 01:41

x+2y=4を式変形しx=の形に直し、そこから得られるxの値を代入して、文字数を減らすことで二次関数となり解けるのでは？

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/06/10 01:40

x+2y=4から、x=-2y+4

x=-2y+4をx^2+xy-4y^2に代入すると、

(-2y+4)^2 + y(-2y+4) - 4y^2
=(4y^2 - 16y +16) + (-2y^2 + 4y) - 4y^2
=-2y^2 -12y +16

f(y)=-2y^2 -12y +16とすると、f(y)の微分f'(y)は、
f'(y)=-4y-12

f(y)は上に凸の二次関数なので、f'(y)=-4y-12=0が極大値になる。極大値は、
y=-3

ここで、実数x、yがx≧0、y≧0という条件のため、y=0が最大値になる。
実数x、yはx+2y=4を満たすので、y=0を代入すると、x=4

よって、求める最大値は、x=4, y=0