この問題がわかりません。

わかる方教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/09 19:29

そういうことなのかなぁと思います。

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答えがはっきりしないのは、定義がはっきりしないからです。
二項分布は(p+q)^nを展開した式①の右辺の第r項がX=rの確率P(X)を与えると定義します。r=0~n
(p+q)^n=ΣnCr･p^r･q ^(n-r)＿＿①
=ΣP(X)
したがって、q=1-pとすると
P(X)= nCr･p^r･(1-p)^(n-r)＿＿②
E[X]とV[X]は、二項分布の公式を使うならば、③となり、E[2X+1]とV[2X+1]は④⑤となる。
E[X] = np, V[X] = npq= np(1 - p)＿＿③
E[2X+1] = 2E[X] +E[1] = 2np +1＿＿④
V[2X+1] = V[2X] = 2^2V[X] =4 V[X] =4 np(1 - p)＿＿⑤
④⑤が答えです。
E[X]とV[X]の公式を証明するには、１次モーメント⑥と２次モーメント⑦を計算します。
1次モーメント= E[X] =ΣXP(X)＿＿⑥
2次モーメント= E[X^2] =ΣX^2･P(X)＿＿⑦
⑥⑦を計算するために積率母関数(=モーメント母関数) Mx(t)¬を利用します。
これは式①の中でpの代わりにpe^tを入れたものです。
式①は、p.qの値にかかわらず、2項展開の公式として成立しているので、
⑧も成立します。
Mx(t)= (e^t･p+ q)^n=ΣnCr･(p e^t )^r･q ^(n-r)
=ΣnCr･p ^r e^ r t ･q ^(n-r)＿＿⑧
⑧の両辺をtで微分すると⑨、そこでt=0とすると⑩となる。
n(e^t･p+ q)^n-1･e^t･p =ΣnCr･rp ^r･e^ r t･q ^(n-r)＿＿⑨
np(p+ q)^n-1=Σr･nCr･rp ^r･q ^(n-r)＿＿⑩
⑩の左辺はp+q=1を利用するとnpになる。右辺は式②⑥でr = XとするとΣXP(X)となる。
1次モーメントnp =ΣXP(X)= E[X]＿＿⑪
E[X]の定義は、E[X]= 1次モーメント=ΣXP(X)だから⑪により
E[X]=np＿＿⑫
⑨の両辺をさらにtで微分すると⑬、そこでt=0とする⑭となる。
n(n-1)(e^t･p+ q)^n-2･e^t･p^2+ n(e^t･p+ q)^n-1･e^t･p
　　　=ΣnCr･r^2･p ^r･e^ r t･q ^(n-r)＿＿⑬
n(n-1)(p+ q)^n-1･p^2+ n(p+ q)^n-1･p =ΣnCr･r^2･p ^r･q ^(n-r)＿＿⑭
⑭の左辺はp+q=1としてn(n-1)･p^2+ npになる。
右辺は式②⑦でr = XとしてΣX^2P(X)となるから2次モーメント=ΣX^2･P(X)である。よって
2次モーメント=ΣX^2･P(X)= n(n-1)･p^2+ np＿＿⑮
Xと期待値E[X]の偏差の二乗は(X－E[X])^2であり、その期待値がV[X]と定義されているので、
V[X] =E[(X－E[X])^2]=E[(X^2－2XE[X]+E[X] ^2]
=E[X^2]－2 E[X E[X]]+E[X] ^2] =E[X^2]－2 E[X ]E[X] +E[X] ^2]
=E[X^2]－E[X] ^2]
=2次モーメント－(1次モーメント)^2_＿＿⑮⑫を使って
= n(n-1)･p^2+ np－(np)^2
= np－np^2= np(1－p)=npq＿＿⑯
これで証明ができました。
Xは2項分布に従う2乗可積分関数とする。＞
この記述は１次モーメントと２次モーメントが有限であるという趣旨と思われるが、Xは離散変数であるから積分は定義されないし、離散変数の有限個の和が有限であることは当然だから、この記述はナンセンスで、出題者のミスである。

この回答へのお礼

そうなんですね。解答ありがとうございます。

お礼日時：2018/07/09 22:41

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/09 14:27

二項分布であれば、n 回試行したときに確率 p の事象が r 回出現する確率は

　P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)
です。

二項分布であれば
　E[X] = np
ですから
　E[2X + 1] = E[2X] + E[1] = 2E[X] + 1 = 2np + 1

また、
　V[X] = np(1 - p)
ですから
　V[2X + 1] = V[2X] = 4V[X] = 4np(1 - p)


問題は、これを「モーメント母関数」から求めよ、とかいうことなのですか？

この回答へのお礼

そういうことなのかなぁと思います。(1)は上記の要領で解けるのですが、(2)はよくわかりません。

お礼日時：2018/07/09 14:42