2次方程式4z^2-(4+2√3)z+2+√3=0の2解をα,βとする。ただし、(αの虚部)＞0とす

2次方程式4z^2-(4+2√3)z+2+√3=0の2解をα,βとする。ただし、(αの虚部)＞0とする。このとき、以下のといに答えよ。
(1)lαlとα/βの値を求めよ。
(2)nを自然数とする。複素数平面上で3点1,α^n,β^nを頂点とする三角形ができないためのnの条件を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/16 17:09

4z^2-(4+2√3)z+2+√3=0の2解をα,βとする。

ただし、(αの虚部)＞0とする。
Z=(2+√3±i)/4
α=(2+√3+i)/4、β=(2+√3-i)/4
|α|=((2+√3)^2+1)^(1/2)/4=(8+4√3)^(1/2)/4
=(√2/4)(4+2√3)^(1/2)= (√2/4)(√3+1)=(√6+√2)/4
α/β=(2+√3+i)/(2+√3-i)
=(2+√3+i)^2/((2+√3)^2+1)
=(6+4√3+2(2+√3)i)/(8+4√3)
=(3+2√3+(2+√3)i)/(4+2√3)
=(1/2)(( 3+2√3)/( 2+√3)+i)
=(1/2)(√3+i)・・・・①

α=r*exp(iθ)(= r*(cos(θ)+isin(θ)))
β= r*exp(-iθ)
と置くことができるので、
α/β= exp(i2θ)・・・・②
tan(2θ) =1/√3
θ=π/12

r=|α|=|β|=(√6+√2)/4<1
α^n=r^n*exp(inθ)= r^n*(cos(nθ)+isin(nθ))
β^n= r^n*exp(-inθ)

3角形ができないのは、３点が同一直線上に在る(当然、2点以上が一致するときを含む)ときである。

α^nとβ^nは実軸に対して対称に位置し、|α^n|=|β^n|<1であるから、α^n≠β^nの状態でα^n、β^nとz=１が同一直線上に在ることはない。
したがって、3角形が存在しないのは、α^n=β^nのときに限る。
r^n*exp(inθ)= r^n*exp(-inθ)
exp(in2θ) =1

2nθ=2Nπ（N：自然数）
n(π/12)=Nπ
n=12N（N：自然数）