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複素積分の問題です
∫[-∞~∞]{cos(az)-1}exp(zix)/z^2 dz
a>0でxによって場合わけしなくてはいけないみたいなんですが、よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

実軸の上部に、原点を中心とした半径Rの大半円、半径rの小半円を設定する。

半径Rの大半円を反時計方向に回る積分路をC1、半径rの小半円を時計方向に回る積分路をC2とする。これらと実軸による閉路を積分路とする。

(exp(i|k|z)-1)/z^2の周回積分を考える。積分路内に特異点は無いから、
∫[-R,-r] (exp(i|k|x)-1)/x^2dx+∫[C2] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz
+∫[r,R](exp(i|k|x)-1)/x^2dx+∫[C1] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz=0
となる。

|∫[C1] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz|≨|∫[C1]| (exp(i|k|z)-1)/z^2||dz||
<(2/R^2)*πR→0(R→∞)・・・・・・①

∫[C2] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz-∫[C2] i|k|/zdz
=∫[C2] (1+i|k|z+(i|k|z)^2/2+・・・-1-i|k|z)/z^2dz=∫[C2]f(z)dz
f(z)はzの多項式だから、正数Mが存在して原点の近くで、
|f(z)|<M
|∫[C2]f(z)dz|<|∫[C2]|f(z)||dz||<πrM→0 (r→0)

|∫[C2] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz-∫[C2] i|k|/zdz|→0 (r→0)

したがって、
lim(r→0)∫[C2] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz= lim(r→0)∫[C2] i|k|/zdz
=(z= rexp(iθ)、dz=izdz)=-∫[π,0]|k|dθ=|k|π・・・・・②

∫[-R,-r] (exp(i|k|x)-1)/x^2dx+∫[C2] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz
+∫[r,R](exp(i|k|x)-1)/x^2dx+∫[C1] (exp(i|k|z)-1)/z^2dz=0
においてR→∞、r→0とし、①②の結果を適用すると、

∫[-∞,∞] (exp(i|k|x)-1)/x^2dx=-|k|π

∫[-∞,∞](exp(i|k|x)-1)/x^2dx=∫[-∞,∞](cos(|k|x)-1+isin(|k|x))/x^2dx
=( sin(|k|x))/x^2は奇関数だから)=∫[-∞,∞] (cos(|k|x)-1))/x^2dx
=( cos(|k|x)は偶関数だから)
= ∫[-∞,∞] (cos(kx)-1))/x^2dx=-|k|π

したがって、次の公式が得られる。

∫[-∞,∞] (cos(kx)-1))/x^2dx=-|k|π・・・・③

以上は、純粋な数学の問題として解きました。

∫[-∞~∞]{cos(az)-1}exp(zix)/z^2 dz
=∫[-∞~∞](1/2){exp(iaz)+exp(-iaz)-2}exp(zix)/z^2 dz
=∫[-∞~∞](1/2){exp(i(a+x)z)+exp(i(x-a)z)-2exp(zix)}/z^2 dz
=(1/2)∫[-∞~∞] {exp(i(a+x)z)-1+exp(i(x-a)z)-1-2(exp(ixz)-1)}/z^2 dz
③の結果を用いて、
=-(1/2)(|a+x|+|x-a|-2|x|)π

③の結果は、∫[-∞,∞] sin(kx)/xdx=π(k>0),-π(k<0),0(k=0)
が既知とすれば、次のようにとんでもなく簡単に得られます。
∫[-∞,∞] (cos(kx)-1))/x^2dx
=-(cos(kx)-1)/x)[-∞,∞]-∫[-∞,∞] ksin(kx)/xdx=-|k|π
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exp(zix)は間違いありませんか。

xは変数ではなく、定数?
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この回答へのお礼

∫ [-∞~∞]
{1-cos(2πξa)}/2a(πξ)^2 dξ
を求めたくて
2πξ=zにしてしつもんしてます。もともとは逆フーリエ変換を計算しています。
xは定数という認識で大丈夫だとおもいます。

お礼日時:2018/07/25 11:29

そういう 回答してくれる 親戚な人が いるのですか?気になる!

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