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大学の離散数学についての質問です。

群の分野の内容です。

元の数が〜個の加法群、乗法群の例を示せ、という問題の解き方を教えてほしいです。

例えば元の数が6つの加法群、乗法群の例を探したいときはどのような手順で探しますか?お願いします

質問者からの補足コメント

  • それぞれの答えって

    (Z 6 , +)

    (Z 6 ,・)

    こんなんで良いんですか??

      補足日時:2018/08/05 13:27
  • 加法群、乗法群のそれぞれの意味です。

    「大学の離散数学についての質問です。 群の」の補足画像2
      補足日時:2018/08/06 01:16

A 回答 (4件)

「6個の元を持つ」場合に限って言えばそれでいい. ただ, それと同じように考えて例えば「7個の元を持つ乗法群を見つけろ」といわれて見つけられますか?



そもそも「群」といっているだけだから, その要素が整数でなければならない理由などどこにもない (しさらに言えば「数」である必然性もない). だから, 「n個の元を持つ」というときに, その元を
a_0, a_1, ..., a_(n-1)
と書いてしまうことができる. あとはこれらの間に適切な乗法を導入すればいいわけだが, このときに加法群 Z_n を持ってきて, これとの間に同型写像を作ればいい. この同型写像をどう作るかという話だが.... ちょうどいいところに乗法群 Z_7^* が出てきたのでこれで説明すると, その原始根として 3 が取れる. つまり Z_7^* の元 x に対し
x ≡ 3^n (mod 7)
であるような n を選ぶことができる. 同じように Z_7^* の (x とは違うかもしれない) 元 y に対して
y ≡ 3^m (mod 7)
を満たす m が取れる. さて「Z_7^* における乗法 x×y」と「n+m」にはどのような関係があるかな?
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あ~, それでいいんだ... 任意の加法群に対して同型な乗法群は簡単につくれちゃうから, それだと「加法群、乗法群の例を示せ」と両方を書かせるのは無意味だと思うんだけどなぁ. まあいいか.



さておき
(Z 6 , +)

(Z 6 ,・)
が群になっていることを確認してから書いてますか? 「群を見付ける」というのは一種のパズルだけど, 「群であることを確認する」のは簡単だよね.
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この回答へのお礼

(Z 6,+)は群ですが
(Z 6,・)は群ではなかったです。

(Z 6,・)を(Z7✳︎,・)にすれば正解ですか??

お礼日時:2018/08/06 06:16

#1 を書いたあとで気付いたんだが, 「加法群」「乗法群」をどういう意味で使ってるんだろうか.



ところで
(Z 6 , +)

(Z 6 ,・)
で本当にいいんですか?
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この回答へのお礼

答えがないので正しい正解がわかりません。できれば1つ答えを出してくれると助かります。

あと加法群、乗法群の意味は教科書通りにしてるのでその写真を補足しておきます。

お礼日時:2018/08/06 01:14

何にも考えずに巡回群を持ってくる.

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この回答へのお礼

ありがとうございます!

元の数が6つのときの加法群教えてもらっても良いですか?

お礼日時:2018/08/05 04:32

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