数学のことを殆ど知らないので、よくご存知の方に教えて頂きたいのですが、
「2択問題をx問やって、n問正解する確率を求める公式」はあるのでしょうか?
もちろん2択問題というのは学校のテストなどではなくて、コインを投げてオモテかウラかを当てるような、知識が介在しない場合の話です。

例<その1>
10問やって10問正解する確率は1024分の1
5問やって5問正解する確率は32分の1
3問やって3問正解する確率は8分の1
この場合の公式は「2のx乗分の1」で合ってるのでしょうか?

例<その2>
10問やって9問正解する確率は1024分の11
5問やって4問正解する確率は32分の6
3問やって2問正解する確率は8分の4
この場合の公式は「2のx乗分のx+1」で合ってるのでしょうか?

でも、nはどこに行ってしまったのか、これが分かりません。。。なので、10問やって8問正解する場合の公式、9問やって6問正解する場合の公式、150問やって112問正解する場合……と言う様に、x問やって、n問正解する確率を求める公式がどんなものなのか、全く分かりません。

もしご存知の方がいらっしゃったら、教えて頂けませんか。

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A 回答 (3件)

最終結果は #1, #2 の回答と同じですが、公式の理屈に興味があれば


お読みください。また、3択以上の場合も分かります。


設問3個の例で説明します。
正解不正解のパターンは以下の8個です。
1○○○
2○○×
3○×○
4○××
5×○○
6×○×
7××○
8×××

2問正解する確立を考えてみましょう。その中の一つ、3番目のパターン
に注目します。
第3パターンが起こる確立は(直感的に1/8ではありますが)設問一つ
一つについて確立を積み上げると
第1問の正解確立×第2問の不正解確立×第3問の正解確立
=1/2 * 1/2 * 1/2
=1/8
となります。

2問正解する全てのパターンは、2番目、3番目、5番目の3つです。
この3つのパターンの確立は、上記のように計算して全て 1/8 なので、
2問正解する確立は
パターン数×パターン1つの起こる確立
=3 * 1/8
=3/8
と計算できます。


これを一般化してみましょう。
設問数を m 、正解数を n とします。

「3個の例」でみたパターン1つが起こる確立を一般化すると、
正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。^n は n 乗の意味です。正解・不正解確立は2択ならば
1/2,1/2 、3択ならば 1/3, 2/3 となります。

次に n 個正解するパターンの数を調べます。これは、m 個のものから
n 個を選ぶ「組合せ」といって、以下の式で計算します。
mCn = m! / ((m-n)! * n!)

mCn は 「m 個から n 個とった組合わせ」の数学記号です。
! は階乗といって、例を挙げれば、「 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 」と
いう意味です。

結局、設問数 m 、正解数 n となる確立は
mCn * 正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。

2択の場合
mCn * (1/2)^m

3択の場合
mCn * (1/3)^n * (2/3)^(m-n)
となります。
4択以上も正解・不正解確立を置きかえれば同様に計算できます。
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この回答へのお礼

皆様どうもありがとうございました。なんとか分かりました。こんな公式、自分みたいなのが考え付けるわけありませんよね。愚か者でした。
みなさんにポイントを差し上げたいところですが、そうもいかないみたいなので、乗数の書き方とか、mCn の計算方法を教えてくださった#3さんを代表として、お礼申し上げす。ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/20 20:59

こんにちは!


doubleimpactさんの回答に補足します。
xCn/2^x という式は正しいです。
ここで、わかりやすく説明すると、2^x という分母は
2択の問題をx問解くのであるからこれは変わりません。
変わるのは、xCnの部分です。これは、x個の中からn個選ぶと
何通りあるかということです。

それでは、aoba_hayatoさんの例<その2> を使って説明しましょう。
10問やって9問正解するということは、1問間違えるわけです。
では、その間違いは何問目に生ずるかという意味で
10C1を使います。よって答えは1024分の10となるわけです。
ちなみに10C1=10C9です。
式で言うと、xCn=xC(n‐1)となります。

この説明でわからなかったら、また補足を下さい。
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簡単にいうと、


xCn/2^x という式で表されます。
分母は2のx乗です。
分子ですが、「xコンビネーションn」といって、
x個の中からn個を取り出す組み合わせです。
計算方法は、
{x*(x-1)*(x-2)*…*(x-(n-1))}/n!
です。
(n!=1*2*3*4*…*nということです)

分母の2を6にすれば、サイコロの場合ができます。
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Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

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x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Q[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ

[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ。

という問題です。

f_n(x)の極限関数f(x)はf(x)=xln(x)になるかと思います。

それで差
|xln(x+1/n)-xln(x)|がεで抑えられるnの値を見つけようとしているのですが
|xln(x+1/n)-xln(x)|=|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となったのですが
|bln(1+1/(nx)|はどんな大きなnを与えてもxは幾らでも小さく(0に近く)採る事が出来ますので|bln(1+1/(nx)|は幾らでも大きくする事ができると思います。

例えばb=1,ε=1/10とかの場合,
|bln(1+1/(nx)|<1/10は
1+1/(nx)<e^(1/10)
1/(nx)<e^(1/10)-1
nx>1/(e^(1/10)-1)(≒2.71828^(1/10)-1)=9.5083386657041165016339582893154
より
n=10と採ったとしてもxがx=1/10なら
nx≦1/(e^(1/10)-1)
となってしまいεで抑える事ができません。

どのようにしてnを探せばいいのでしょうか?

[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ。

という問題です。

f_n(x)の極限関数f(x)はf(x)=xln(x)になるかと思います。

それで差
|xln(x+1/n)-xln(x)|がεで抑えられるnの値を見つけようとしているのですが
|xln(x+1/n)-xln(x)|=|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となったのですが
|bln(1+1/(nx)|はどんな大きなnを与えてもxは幾らでも小さく(0に近く)採る事が出来ますので|bln(1+1/(nx)|は幾らでも大きくする事ができると思います。

例えばb=1,ε=1/10とかの場合,
|bln(1+1/(nx...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。問題に対する考察が不足しています。

任意のε>0に対して、ε>1/N を満たす十分大きな番号N>0をとれば、N>nを満たすすべてのnに対して、(0,b]内のどんなxに対しても

|f_n(x)-f(x)|
=|x・log(x+1/n)-x・log(x)|
=|x・log(1+1/(nx))|
=1/n|log(1+1/(nx))^{nx}|
≦1/n|log(1+1/(nb))^{nb}| (∵(1+1/m)^mが単調増加だから)
≦1/n (∵logも単調増加関数で、log(1+1/(nb))^{nb}<1だから)
<ε

したがって、f_n(x)は(0,b]で一様収束する。

※ケースバイケースですが、このような問題では対数はlnと書かずにlogと書いたほうが、誤解を与えずに他の回答者さんも分かりやすいと思います。
なぜなら、この問題を最初に見たとき 私はln のlは絶対値の記号でnは添え字のnだと思ってしばらく考えていました。

Q○×式の問題2N問に無作為に解答したときの正解数がk問となる確率

○×式の問題が2N問。
N問は○が正解で、残りN問は×が正解。
解答者は無作為にN問に○を、N問に×をつける。
このとき、正解数がk問(0≦k≦2N)となる確率をp(k)とする。

○が正解のときに、○を記して正解となった問題数をx問、
×が正解のときに、×を記して正解となった問題数をy問とする。

このとき、xとyの関係を求め、p(k)を求めたいのですが、どうすればいいのでしょうか?
正解数の期待値は、Nでしょうか。

Aベストアンサー

勘違いでしょう> #1, #2

xとyの関係と制約は x = y , 0 ≦ x ≦ N です。○で x 問正解する場合、×(バツ)が正解の問題のうち (N-x) 問に○をつけているわけで、×を付けた方でも必ず x 問が正解。正解の数は偶数にしかなりません。

確率を求めてみると、

○と×を記入するすべての組み合わせは 2N C N 通り (○を付ける問題を2N問からN個選択すれば、×を付ける問題は決まってしまうので)

○を選んだ問のうちx問が正解である組み合わせは、○が正解のN問のうちx問に○をつけ、×が正解の N 問のうち N - x 問に○をつける組み合わせですから、N C x × N C (N-x) 通り。このとき、 2 x 問正解となります。

故に、2 x 問正解である確率 P( 2 x ) は、
P( 2 x ) = N C x × N C (N-x) / (2N) C N = (N C x)^2 / ((2N) C N )
x = 0,1,2...N

N=2, N=3 あたりで具体的に確認してみると良いでしょう。

勘違いでしょう> #1, #2

xとyの関係と制約は x = y , 0 ≦ x ≦ N です。○で x 問正解する場合、×(バツ)が正解の問題のうち (N-x) 問に○をつけているわけで、×を付けた方でも必ず x 問が正解。正解の数は偶数にしかなりません。

確率を求めてみると、

○と×を記入するすべての組み合わせは 2N C N 通り (○を付ける問題を2N問からN個選択すれば、×を付ける問題は決まってしまうので)

○を選んだ問のうちx問が正解である組み合わせは、○が正解のN問のうちx問に○をつけ、×が正解の N 問のうち N - x 問に...続きを読む

Q指数に関するな問題で、(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の2問についてご教授ください。

(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の二つの問題について、答えをご教授ください。
(1)は「次の方程式を解け」 (2)は「次の不等式を解け」となっております。
( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
手元には解説と答えのどちらもないので、簡単な過程式も付けて頂けると大変助かります。
ご教授頂ける方是非よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
指数という意味で以下のように表記します。
(1) 2^(3x+2)-4^x+2^(x+1)-5=0
2^x=yとおくと
2^(3x)=(2^x)^3=y^3
2^(3x+2)=2^(3x)×2^2=4y^3
4^x=2^(2x)=(2^x)^2=y^2
2^(x+1)=2^x×2=2y
従って(1)は
4y^3-y^2+2y-5=0
これはy-1と2次式に因数分解できて
(y-1)(4y^2+3y+5)=0
2^x=yであるのでxを実数とするとy>0
4y^2+3y+5=0は実数解を持たない。
よってy=1に対応するx=0が答え。
(2)2^x+2^(-x)<17/4
y=2^xとおくと
y+1/y<17/4
y=2^xよりy>0であるので
y^2-17/4y+1<0
4y^2-17y+4<0
因数分解して
(4y-1)(y-4)<0
1/4<y<4
xに戻して
-2<x<2


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