数学のことを殆ど知らないので、よくご存知の方に教えて頂きたいのですが、
「2択問題をx問やって、n問正解する確率を求める公式」はあるのでしょうか?
もちろん2択問題というのは学校のテストなどではなくて、コインを投げてオモテかウラかを当てるような、知識が介在しない場合の話です。

例<その1>
10問やって10問正解する確率は1024分の1
5問やって5問正解する確率は32分の1
3問やって3問正解する確率は8分の1
この場合の公式は「2のx乗分の1」で合ってるのでしょうか?

例<その2>
10問やって9問正解する確率は1024分の11
5問やって4問正解する確率は32分の6
3問やって2問正解する確率は8分の4
この場合の公式は「2のx乗分のx+1」で合ってるのでしょうか?

でも、nはどこに行ってしまったのか、これが分かりません。。。なので、10問やって8問正解する場合の公式、9問やって6問正解する場合の公式、150問やって112問正解する場合……と言う様に、x問やって、n問正解する確率を求める公式がどんなものなのか、全く分かりません。

もしご存知の方がいらっしゃったら、教えて頂けませんか。

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A 回答 (3件)

最終結果は #1, #2 の回答と同じですが、公式の理屈に興味があれば


お読みください。また、3択以上の場合も分かります。


設問3個の例で説明します。
正解不正解のパターンは以下の8個です。
1○○○
2○○×
3○×○
4○××
5×○○
6×○×
7××○
8×××

2問正解する確立を考えてみましょう。その中の一つ、3番目のパターン
に注目します。
第3パターンが起こる確立は(直感的に1/8ではありますが)設問一つ
一つについて確立を積み上げると
第1問の正解確立×第2問の不正解確立×第3問の正解確立
=1/2 * 1/2 * 1/2
=1/8
となります。

2問正解する全てのパターンは、2番目、3番目、5番目の3つです。
この3つのパターンの確立は、上記のように計算して全て 1/8 なので、
2問正解する確立は
パターン数×パターン1つの起こる確立
=3 * 1/8
=3/8
と計算できます。


これを一般化してみましょう。
設問数を m 、正解数を n とします。

「3個の例」でみたパターン1つが起こる確立を一般化すると、
正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。^n は n 乗の意味です。正解・不正解確立は2択ならば
1/2,1/2 、3択ならば 1/3, 2/3 となります。

次に n 個正解するパターンの数を調べます。これは、m 個のものから
n 個を選ぶ「組合せ」といって、以下の式で計算します。
mCn = m! / ((m-n)! * n!)

mCn は 「m 個から n 個とった組合わせ」の数学記号です。
! は階乗といって、例を挙げれば、「 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 」と
いう意味です。

結局、設問数 m 、正解数 n となる確立は
mCn * 正解確立^n × 不正解確立^(m-n)
となります。

2択の場合
mCn * (1/2)^m

3択の場合
mCn * (1/3)^n * (2/3)^(m-n)
となります。
4択以上も正解・不正解確立を置きかえれば同様に計算できます。
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この回答へのお礼

皆様どうもありがとうございました。なんとか分かりました。こんな公式、自分みたいなのが考え付けるわけありませんよね。愚か者でした。
みなさんにポイントを差し上げたいところですが、そうもいかないみたいなので、乗数の書き方とか、mCn の計算方法を教えてくださった#3さんを代表として、お礼申し上げす。ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/20 20:59

こんにちは!


doubleimpactさんの回答に補足します。
xCn/2^x という式は正しいです。
ここで、わかりやすく説明すると、2^x という分母は
2択の問題をx問解くのであるからこれは変わりません。
変わるのは、xCnの部分です。これは、x個の中からn個選ぶと
何通りあるかということです。

それでは、aoba_hayatoさんの例<その2> を使って説明しましょう。
10問やって9問正解するということは、1問間違えるわけです。
では、その間違いは何問目に生ずるかという意味で
10C1を使います。よって答えは1024分の10となるわけです。
ちなみに10C1=10C9です。
式で言うと、xCn=xC(n‐1)となります。

この説明でわからなかったら、また補足を下さい。
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簡単にいうと、


xCn/2^x という式で表されます。
分母は2のx乗です。
分子ですが、「xコンビネーションn」といって、
x個の中からn個を取り出す組み合わせです。
計算方法は、
{x*(x-1)*(x-2)*…*(x-(n-1))}/n!
です。
(n!=1*2*3*4*…*nということです)

分母の2を6にすれば、サイコロの場合ができます。
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15人をA組、B組、C組の各組5人ずつのグループに分ける時の場合の

数は、15C5・10C5通りですが、組の区別がない時は上記の数を3!で割

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うな、組の区別があるものしか答えが求められないのでしょか?

Aベストアンサー

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分ける場合の数は、上の1)、3)、5)を掛算して得られる。ここで、疑問の「組の区別がある/ない」は、1)、3)のコンビネーションによって発生しているのではなく、2)、4)、5)の「取り出した順に並べる」という手順にしたがって1)、3)、5)を「掛け合わせる」という計算によって発生しています。で、「場合の数を掛け合わせて得られる」のが順列ですよね。
通常、順列というと、例えば「1から9の数字から3つを順に選んで並べる」とすると、1つめの数字の選び方が9通り、2つめの選び方が8通り、3つめが7通りですから、順列は9×8×7。ですが、何か特別な条件をつけて、1つめの数字の選び方が5通り、2つめも5通り、3つめが4通りなどとなることも有り得るわけで、その場合の順列は5×5×4です。というように、「場合の数を掛け合わせていく」のが順列ですよね。この問題も、1つ目の選び方が15C5通り、2つ目の選び方が10C5通りで、3つ目の選び方が1通りだから、順列は15C5 × 10C5 × 1 なわけです。

ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、(コンビネーションで)取り出した人のグループを並べたという順列の行為(場合の数を掛け合わせたという計算)が区別の原因です。

質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

という手順で、グループに分...続きを読む

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)

Q条件付き確率の問題です。 赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続け

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Q数A確率m個からn個を取り出す

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ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

5個の玉から2個取り出す確率、と書くと条件がないため、確率は100%(どんな時も2個取れる)になります。

2個取り出す玉に条件をつけると確率は変化します。
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Q[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ

[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ。

という問題です。

f_n(x)の極限関数f(x)はf(x)=xln(x)になるかと思います。

それで差
|xln(x+1/n)-xln(x)|がεで抑えられるnの値を見つけようとしているのですが
|xln(x+1/n)-xln(x)|=|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となったのですが
|bln(1+1/(nx)|はどんな大きなnを与えてもxは幾らでも小さく(0に近く)採る事が出来ますので|bln(1+1/(nx)|は幾らでも大きくする事ができると思います。

例えばb=1,ε=1/10とかの場合,
|bln(1+1/(nx)|<1/10は
1+1/(nx)<e^(1/10)
1/(nx)<e^(1/10)-1
nx>1/(e^(1/10)-1)(≒2.71828^(1/10)-1)=9.5083386657041165016339582893154
より
n=10と採ったとしてもxがx=1/10なら
nx≦1/(e^(1/10)-1)
となってしまいεで抑える事ができません。

どのようにしてnを探せばいいのでしょうか?

[問]数列f_n(x)=xln(x+1/n)は(0,b] (b>0)で一様収束する事を示せ。

という問題です。

f_n(x)の極限関数f(x)はf(x)=xln(x)になるかと思います。

それで差
|xln(x+1/n)-xln(x)|がεで抑えられるnの値を見つけようとしているのですが
|xln(x+1/n)-xln(x)|=|xln(1+1/(nx)|≦|bln(1+1/(nx)|となったのですが
|bln(1+1/(nx)|はどんな大きなnを与えてもxは幾らでも小さく(0に近く)採る事が出来ますので|bln(1+1/(nx)|は幾らでも大きくする事ができると思います。

例えばb=1,ε=1/10とかの場合,
|bln(1+1/(nx...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。問題に対する考察が不足しています。

任意のε>0に対して、ε>1/N を満たす十分大きな番号N>0をとれば、N>nを満たすすべてのnに対して、(0,b]内のどんなxに対しても

|f_n(x)-f(x)|
=|x・log(x+1/n)-x・log(x)|
=|x・log(1+1/(nx))|
=1/n|log(1+1/(nx))^{nx}|
≦1/n|log(1+1/(nb))^{nb}| (∵(1+1/m)^mが単調増加だから)
≦1/n (∵logも単調増加関数で、log(1+1/(nb))^{nb}<1だから)
<ε

したがって、f_n(x)は(0,b]で一様収束する。

※ケースバイケースですが、このような問題では対数はlnと書かずにlogと書いたほうが、誤解を与えずに他の回答者さんも分かりやすいと思います。
なぜなら、この問題を最初に見たとき 私はln のlは絶対値の記号でnは添え字のnだと思ってしばらく考えていました。

Q確率の問題で

確率の問題で「トランプ52枚から3枚引いて、そのうち2枚がハートの確率を求めよ」とあり、答えは
(13C2*39C1)/52C3=117/850ですが、
私は、
一回目ハート、2回目ハート、三回目その他=(13/52)*(12/51)*(39/50)
だと思いました。一回目がその他でも掛け算なので影響しないかと・・・
確率の問題のコンビネーションの使い方を教えてください。また私のような解き方で解く問題はどういったものでしょう?

Aベストアンサー

質問者さんの言われるのは順列です。
並び方を考えています。
1番、2番、3番がハート、ハート、その他に限定されると順列です。
入れ替えを許して
ハート、その他、ハート
その他、ハート、ハート
を同じものと考えると組み合わせとなります。

Q指数に関するな問題で、(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の2問についてご教授ください。

(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の二つの問題について、答えをご教授ください。
(1)は「次の方程式を解け」 (2)は「次の不等式を解け」となっております。
( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
手元には解説と答えのどちらもないので、簡単な過程式も付けて頂けると大変助かります。
ご教授頂ける方是非よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
指数という意味で以下のように表記します。
(1) 2^(3x+2)-4^x+2^(x+1)-5=0
2^x=yとおくと
2^(3x)=(2^x)^3=y^3
2^(3x+2)=2^(3x)×2^2=4y^3
4^x=2^(2x)=(2^x)^2=y^2
2^(x+1)=2^x×2=2y
従って(1)は
4y^3-y^2+2y-5=0
これはy-1と2次式に因数分解できて
(y-1)(4y^2+3y+5)=0
2^x=yであるのでxを実数とするとy>0
4y^2+3y+5=0は実数解を持たない。
よってy=1に対応するx=0が答え。
(2)2^x+2^(-x)<17/4
y=2^xとおくと
y+1/y<17/4
y=2^xよりy>0であるので
y^2-17/4y+1<0
4y^2-17y+4<0
因数分解して
(4y-1)(y-4)<0
1/4<y<4
xに戻して
-2<x<2

Q数学 確率の問題

9枚のカードがあり、カードの表にはそれぞれ「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「10」の数が書かれている。
また、裏にはすべて「1」が書かれている。
これらのカードを投げたときに、それぞれのカードの表が上側になる確率と裏が上側になる確率は、ともに1/2であるとする。
9枚のカードすべてを同時に投げて、各カードの上側に現れた数をすべて掛けあわせた値を得点とする。
次の問に答えよ。

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(2)得点が偶数になる確率を求めよ。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。

という問題でコンビネーションが使えない理由を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です。
済みません。(3)の場合分けをミスりましたので、
以下の通り訂正します。ご迷惑をおかけしました。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。
(ア)「8」が表の全ての場合:確率=1/2
(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

QΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)
=a_k∫[a...b](φ_k(x))^2dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx
=a_k
となり,一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)...続きを読む

Aベストアンサー

そのままでは直交性
∫[a...b]φ_n(x)φ_k(x)dx=0 (n≠k)
を利用できないので、Σと∫を入れ換えないといけないのです。


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