１問１点の１０点満点のテストがあります。 このテストは全て2択の問題のとき、期待値を計算すると５点に

１問１点の１０点満点のテストがあります。　　このテストは全て2択の問題のとき、期待値を計算すると５点になりました。以下、全てランダムで答えると仮定します。

しかし、実際に5点となる確率は
10C5×(1/2)^5(1/2)^5=0.24609375≒0.25=25％
となりました。

ここで質問なんですが、期待値が5点であるから50％=1/2の確率で5点だろうと考えるのは間違っていますよね？
期待値の5点とは5点になる確率が最も高いことを意味していると捉えて良いですか？

もう１つ気になるのが
2択の問題を10問
全て１問１点でランダムに答える場合、
1番自分が取りそうな点数は期待値の5点なのか
10点になる確率：(1/2)^10
9点になる確率：10×(1/2)^10
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
1点になる確率：(1/2)^10
0点になる確率：10×(1/2)^10　　　　　　　
を計算し、最も確率の高い点数のどちらですか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/22 10:51

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞期待値が［ある値×それが起こる確率］で求まる。という認識でよいですか？

はい。
ただし、「100問、15択」の場合には、正解数は 0～100 にわたりますから（100問を偶然正解する確率は相当に低いですが 0 ではない）、その［ある値×それが起こる確率］を全部足し合わせたものが「期待値」になります。

１問あたり１点で正解確率 1/15 なら、１問あたりの期待値は (1/15)点。
100問ならこの100倍。

これで計算した期待値と、

100問のうち 0 問正解の確率 P(0)、そのときの点数 0 点
100問のうち 1 問正解の確率 P(1)、そのときの点数 1 点
100問のうち 2 問正解の確率 P(2)、そのときの点数 2 点
　・・・
100問のうち k 問正解の確率 P(k)、そのときの点数 k 点
　・・・
100問のうち 100 問正解の確率 P(100)、そのときの点数 100 点

から
　0点 × P(0) + 1点 × P(1) + 2点 × P(2) + ・・・+ k点 × P(k) + ・・・+ 100点 × P(100)
で計算した期待値とは等しくなるはずです。


＞仮に100問、15択となると
＞期待値=100/15=6.6‥‥‥

はい、そういうことになります。

＞「6つ正解」の確率が最も高いということでしょうか?

この場合には、計算してみれば多分そうなると思います。

ただし、上の式で、結果として得られる期待値に一番近い k の確率 P(k) が最も大きくなるとは限りません。「１問１点」としたので何となくそれっぽいですが、「１問10点」とか「問題によって配点が異なる」ような場合もありますから。
当選賞金が高い「くじ」では、それなりに「期待値」が大きくなりますが、最も確率が高いのは「はずれ」（賞金０）の人になります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/22 00:28

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞ただ、まだ疑問点があって１問１点で9点満点のテストで全て2択、○か✕で正誤を判断し少数点数は無しとする場合、ランダムに答えると期待値が4.5になってしまい整数として出ません。この場合、自分が1番取りそうな点数は4or5点で4点が出る確率と５点が出る確率は等確率ですか？

いいえ。
「期待値」というものが分かっていないみたいですね。
「２択」だと分かりづらいので、「４択」で考えてみてください。

１問あたり、正解の確率が 1/4 なので、１問あたりの得点の期待値は (1/4) 点です。中途半端だけど、確率がそうなのだから (1/4) 点です。
これはつまり「毎回 (1/4) 点の得点をする」ということではなくて、「正解して得点１点になるのが４回に１回、間違えて得点にならないのが４回に３回」ということです。
期待値とはそういうことで、
　1点 × 確率 1/4 + 0点 × 確率 3/4 = (1/4)点
ということです。

これが 10問あれば、得点の期待値は
　１問あたり (1/4)点 × 10問 = 2.5点
ということです。

何問正解するかの確率をまじめに計算すれば、「二項分布」の確率の計算なので
正解 0 ：P(0) = 10C0 * (1/4)^0 * (3/4)^10 = 3^10 / (4^10) ≒ 0.0563
正解 1 ：P(1) = 10C1 * (1/4)^1 * (3/4)^9 = 10 * 3^9 / (4^10) ≒ 0.0751
正解 2 ：P(2) = 10C2 * (1/4)^2 * (3/4)^8 = 45 * 3^8 / (4^10) ≒ 0.2816
正解 3 ：P(3) = 10C3 * (1/4)^3 * (3/4)^7 = 120 * 3^7 / (4^10) ≒ 0.2503
正解 4 ：P(4) = 10C4 * (1/4)^4 * (3/4)^6 = 210 * 3^6 / (4^10) ≒ 0.1460
　・・・
正解 10 ：P(10) = 10C10 * (1/4)^10 * (3/4)^0 = 1 / (4^10) ≒ 9.53 * 10^(-7)
ということになり、「２つ正解」の確率が最も高いことがわかります。

期待値は、これを使って
　0 * P(0) + 1 * P(1) + 2 * P(2) + 3 * P(3) + ･･･ + 10 * P(10)
で求めます。

この回答へのお礼

期待値が［ある値×それが起こる確率］で求まる。という認識でよいですか？

仮に100問、15択となると
期待値=100/15=6.6‥‥‥
何問正解するか、
Ｆ(K)=100!/k!(100-k)!×(1/15)^k×(14/15)^100-k
と定めて、F(K+1)とＦ(K)の大小比較から
F(1)<F(2)<‥‥‥<F(5)<F(6)>F(7)>‥‥F(98)F(99)から「6つ正解」の確率が最も高いということでしょうか?

お礼日時：2020/09/22 01:08

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/09/21 23:19

＞ここで質問なんですが、期待値が5点であるから50％=1/2の確率で5点だろうと考えるのは間違っていますよね？

意味がよく分かりませんが、「全てランダムで答える」ので、全問とも「正答する確率が 1/2」で、問題が10問あるので、正答する問題数の期待値が
　10[問] * 1/2 = 5[問]
であり、「１問１点」なので得点の期待値が「5点」になります。

＞期待値の5点とは5点になる確率が最も高いことを意味していると捉えて良いですか？

違います。
各得点とその確率の積の総和が期待値です。

期待値 = 得点0 * (得点0の確率) + 得点1 * (得点1の確率) + 得点2 * (得点2の確率) + ･･･ + 得点10 * (得点10の確率)

＞1番自分が取りそうな点数は期待値の5点なのか

そういうことになります。

＞最も確率の高い点数のどちらですか？

こちらではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
だいたい分かりました！
ただ、まだ疑問点があって１問１点で9点満点のテストで全て2択、○か✕で正誤を判断し少数点数は無しとする場合、ランダムに答えると期待値が4.5になってしまい整数として出ません。この場合、自分が1番取りそうな点数は4or5点で4点が出る確率と５点が出る確率は等確率ですか？

お礼日時：2020/09/22 00:01