置換積分は必要がない存在？ すぐわかる計画数学という本の復習ページ（p15）を読んで疑問に思ったこと

置換積分は必要がない存在？

すぐわかる計画数学という本の復習ページ（p15）を読んで疑問に思ったことを質問させてください。
少し複雑な関数の積分を考えよう。これは直接積分できない場合が多い。そのような場合の積分法には置換積分と部分積分がある。。。
置換積分や部分積分を使うと考え方がわかりやすくなるというのはわかるのですが、この二つを用いて積分できた時点で直接積分することだってできると言えるのではないでしょうか？（伝えたいのは例えばeのＸ乗をtで置くところをeのＸ乗をひとかたまりとみて積分するという暗算置換積分のことではなく、なにか直接積分するを表しそうな何かがありそうということです。うまく説明できなくてすみません。）

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/21 01:48

以下積分定数は省略.

そもそも「直接積分する」というのはどのような操作のことを意味するんだろうか. 例えば
∫(x+1) dx = x^2/2 + x
はすぐできると言ってもいいけど, でも実際には
被積分関数は x と 1 の和で, 2つの関数の和の不定積分はそれぞれの不定積分の和で書ける. そして
∫x dx = x^2/2
∫1 dx = x
だから ∫(x+1) dx = x^2/2 + x だ
と考えるはずだよね. じゃあこれは「直接積分する」といえる?

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/08/19 14:43

置換積分は定積分の手法です。

小学校の算数で複雑な図形の面積や体積を求める問題では、単純な図形に分割してそれぞれの部品の面積や体積を求めた上でそれらの合計を求めるとよいという手法を学んだ筈です。
面積は{縦×横}で求めるのが基本ですが、複雑な図形は各部のパーツの方向がずれている場合、単純な式の変形では求められないが、パーツ毎に考えれば簡単に求められるということです。
実はこれこそが置換積分の入門なのです。
変数変換の多くは不可逆なため、元の関数の原始関数を求めることは不可能なケースが殆どなのです。

置換積分による不定積分ができる特殊な例を紹介しておきます。

∫secθdθ を求める。
secθ=t-tanθ
と置くと、
t=secθ+tanθ
dt/dθ=secθtanθ+sec²θ
=secθ(tanθ+secθ)
=t secθ
secθdθ=dt/t
∫secθdθ=∫dt/t=log|t|+C
∫secθdθ=log|secθ+tanθ|+C

これは偶々、最終式から t を消去できる形になったのでできたのであって、大変珍しいケースです。

No.1 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/08/19 09:16

「置換積分や部分積分を使って積分できたものは微分すれば元の式に戻るのだから、その微分を逆に辿れば部分積分や置換積分を使わなくても積分できるのではないか」ということですか？

置換積分は合成関数の微分の逆、部分積分は関数の積の微分の逆です。微分するときにこれらを使うので、逆に辿ったときには使ってないようでもそれらの逆(=置換積分や部分積分)
を使ってます。強烈な計算力があれば、見た目それらを使ってないように見える解法が可能でしょうが、細かいステップに分ければ結局は使ってます。