d tanθとtandθの違いはありますか？ あるいは、ほぼ似たようなものなのでしょうか？

d tanθとtandθの違いはありますか？
あるいは、ほぼ似たようなものなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 私はd tanθ=tandθでも問題ないと考えています。

    補足日時：2018/09/10 09:24

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/09/12 12:45

>dtanθ=tan31°-tan30°≒0.07200

訂正
dtanθ=tan61°-tan60°≒0.07200

>それとも計算しなくても分かったのでしょうか？
はい。dtanθ/dθ =(1/(cosθ)^2)
tanの微分を知っているだけです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/09/12 07:55

例えばθ=60度(π/3)を61度((61/180)π)に変化させる場合を考えよう。

dθ=(1/180)π≒0.01745
dtanθ=tan31°-tan30°≒0.07200

全然違うでしょ。全然成り立たないのですよ。

この回答へのお礼

1度だけでこれほど差が出るとかわかりませんでした。
あの、回答者様は計算した事で差が大きいとわかったのでしょうか？
それとも計算しなくても分かったのでしょうか？
だとしたら何故でしょうか？

お礼日時：2018/09/12 09:47

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/10 22:11

d tanθとtandθの違いはありますか？

一般には、違います。
微分の公式df(x)=f'(x)dxを使うと上記の量を正しく表すことができます。
f(θ)= tanθをθで微分するとf(θ)=(tanθ)'=sec²θとなるので、
d tanθ= f'(θ)dθ=sec²θdθです。
一方、tan dθは、dθが無限小量と考えるので、tan dθ＝dθです。
もしθ=0であれば、sec²θ=1/cos²θ=1となるので、
d tanθ=tan dθとなります。二つに違いはありません。
しかし、θ≠0のときはd tanθ≠tan dθとなります。
例えば、θ=π/4ラジアン(45°)のときはsec²θ=2だから
d tanθ=2tan dθとなります。
なお微分の計算をするときはラジアンを使わないと計算が複雑になるので、
(180/πという係数が付くだけだが)ここではラジアンを使う計算だけを書いた。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/10 10:56

No.1です。

加法定理を使えば

tan(θ + dθ) = [ tan(θ) + tan(dθ) ] / [ 1 - tan(θ)tan(dθ) ]

ですから、
　tan(θ + dθ) = tan(θ) + d(tan(θ))
と書けば

　tan(θ) + d(tan(θ)) = [ tan(θ) + tan(dθ) ] / [ 1 - tan(θ)tan(dθ) ]

よって
　d(tan(θ)) = [ tan(θ) + tan(dθ) ] / [ 1 - tan(θ)tan(dθ) ] - tan(θ)
　　　　　　= [ tan(θ) + tan(dθ) - tan(θ) + tan^2(θ)tan(dθ) ] / [ 1 - tan(θ)tan(dθ) ]
　　　　　　= tan(dθ)[ 1 + tan^2(θ) ] / [ 1 - tan(θ)tan(dθ) ]
　　　　　　= tan(dθ) / [ cos^2(θ) - sin(θ)cos(θ)tan(dθ) ]

どうやっても「d(tan(θ)) = tan(dθ)」にはなりませんよ。

実際に
　θ = 60°
　dθ = 1°
で計算してみれば
　tan(60°) = 1.7320508･･･
　tan(61°) = 1.8040477･･･
　tan(1°) = 0.01745506･･･
ですから
　d(tan(θ)) = tan(61°) - tan(60°) = 0.0719969･･･
で、tan(dθ) = tan(1°)　とは一致しませんね。

どのような根拠で

＞私はd tanθ=tandθでも問題ないと考えています。

という主張をされていますか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/10 10:09

＞d tanθとtandθの違いはありますか？

あります。まるで意味が違います。

「d tanθ」は「tanθ の増分」
「tan(dθ)」は「θ の増分 dθ に対する tan 」

ですから。
「鶏と卵」ぐらいに違います。