下の文章の[[[ ]]] の部分がわからないので教えてください。
COROLLARIE
Let X be a measurable space.
If f is a complex measurable function on X, there is a complex measurable function g on X such that |g|=1 and f=g|f|.
↓[[[ ]]]はこの下にあります。
PROOF
Let E={x: f(x)=0}, let Y be the complex plane with the origin removed, define h(z)=z/|z| for x∈Y, and put
g(x)=h(f(x)+χ(x)) (x∈X)
If x∈E, g(x)=1; if g(x)=f(x)/|f(x)|.
[[[ Since h is continuous and since E is measurable ]]],
the measurability of g follows from (c), (d), and Theorem1.7.
(χ:特性関数(定義関数))
1.「hが連続」というのは
|z-c|<δ⇒|h(z)-h(c)|<ε
のことだろうと思います。
2.「Eが可測集合」というのがどうしてなのかわかりません。
(可測集合は
If M is a σ-algebra in X, then X is called a measurable space, and the members of M are called the measurable sets in X
となっていたので、
Xの完全加法族(シグマ代数)の元となるものが可測集合ということだと思うのですが。)
よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
Xの位相の定義がわかりませんが、
X-{0} が開集合だということを認めれば、
(ハウスドルフ空間なら、成立する。)
fが可測関数だから、
f^(-1)(X-{0}) = {x: f(x)≠0} は可測。
E = {x: f(x)=0} = X - {x: f(x)≠0}
ですが、完全加法族の性質より、
可測な集合の補集合は可測なので、Eも可測。
No.1
- 回答日時:
可測関数の定義はどうなっていますか?
たとえば、よくある定義
「f : X -> Y について、
fが可測関数であるとは、
Z⊂Yが可測ならば、Zの逆像f^-1(Z)がX上で可測であること」
という定義に従えば、
Eが可測であることは明らかですね。
この回答への補足
可測関数の定義は
If X is measurable space, Y is a topological space, and f is a mapping of X into Y, then f is said to be measurable provided that f^(-1)(V) is a measurable set in X for every open set V in Y.
可測空間Xから位相空間Yの写像で、
開集合V⊂Yについてf^(-1)(V)がXの可測集合となる
ものを可測関数(写像)という。
となっていますが…。
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