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No.1
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cothz=1/z+2z*Σ[n=1~∞]{1/(z²+(nπ)²}を既知とすれば・・、
z=πとすれば
cothπ=1/π+2πΣ[n=1~∞]{1/(π²+(nπ)²}
=1/π+(2π/π²)*Σ[n=1~∞]{1/(1+n²)}
=1/π+(2/π)*Σ[n=1~∞]{1/(1+n²)}
・・から
Σ[n=1~∞]{1/(1+n²)}=-1/2+(π/2)*cothπ
=-1/2+(π/2)*{(e^π+e^(-π))/(e^π-e^(-π)}
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Σ[1~∞]1/(n²+1)=(1/2)[{(e^π+e^-π)/(e^π-e^-π)}・π-1]でした