整数の数列{An}を次の不等式によって定義する。

整数の数列{An}を次の不等式によって定義する。
An≦(7√11+24)^n<An+1（n=1、2、・・・）
Bn=(7√11+24)^n-Anとおくとき、数列{Bn}の極限を求めよ。
これを詳しく教えていただけないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/10/13 17:11

(7√11+24)^n＝(24+7√11)^nとし２項展開して

(24－7√11)^nも２項展開して和
(24+7√11)^n＋(24－7√11)^n　を考えると
それぞれの２項展開の（7√11）の偶数次の項は整数で
（7√11）の奇数次の項は打ち消しあうから
(7√11+24)^n＋(24－7√11)^nは整数になります。これを＝Ａn’とおいて
(7√11+24)^n＝(Ａn’－1)＋1－(24－7√11)^n　とかきなおせば
0＜(24－7√11)^n＜1　より0＜1－(24－7√11)^n＜1だから
Ａn’－1＜(7√11+24)^n＜Ａn’＝(Ａn’－1)＋1がなりたちます。
つまり問題の条件の整数Anは＝Ａn’－1　です。
したがって
Bn＝(7√11+24)^n-An＝(7√11+24)^n－Ａn’＋1＝1－(24－7√11)^n
となって、0＜24－7√11＜1　より
数列{Bn}は　1　に収束します。