空間ベクトルの問題です （４）の解説お願いします

空間ベクトルの問題です （４）の解説お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/11 11:56

四角錐O-ABCDを平面OBDで分割すると三角錐O-ABDとO-CBDに分けられます

同様に四角錐O-PMQDは平面OBDでO-PMDとO-QMDに分けられます

このうちのO-ABDとO-PMDの体積比を考えます
底面をOAB,OPMとして考えると高さが共通（点Dと平面OAB(=平面OPM)の距離）だから
体積比は△OABと△OPMの面積比となり△OPMの面積は△OABの面積の p/2 なので
三角錐O-PMDの体積は三角錐O-ABDの体積の p/2 であることが分かります

同様に、三角錐O-QMDの体積は三角錐O-CBDの体積の q/2 で
三角錐O-ABDの体積=三角錐O-CBDの体積=(四角錐O-ABCDの体積)/2 だから
四角錐O-PMQDの体積は四角錐O-ABCDの体積の (p+q)/4 となります

したがって
体積を最小とする p,q は、(3)の答えの条件でp+qを最小にするp,qです

0 < p, 0 < q なので
相加平均と相乗平均の関係を使うと、 p+q ≧ 2√(pq) :等号成立 p=q
(3)の答えを変形すると　p+q=3pq
これからp=q=2/3 で最小
そのときの体積は四角錐O-ABCDの体積の 1/3

四角錐O-ABCD の体積の計算は省略
（底面となる正方形の辺の長さを求め、(2)の答えとあわせて考えると難しくはないはず）