数A 塗り分けの問題です。 画像の問で、「４色すべてを用いる場合」についての考え方が分かりません。

数A 塗り分けの問題です。
画像の問で、「４色すべてを用いる場合」についての考え方が分かりません。
黄色線を引いた、［４色以内の塗り分け方-三色を用いる塗り分け方］という式を詳しく説明していただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/13 11:52

この塗り分けは、1色または2色では不可能

よって3色、もしくは4色のいずれかで行う事になる。
当然ながら
3色で塗り分ける方法＋4色で塗り分ける方法＝3色または4色で塗り分ける方法　となり
4色以内で塗り分ける方法＝3色または4色で塗り分ける方法であるから
4色で塗り分ける方法＝4色以内で塗り分ける方法-3色で塗り分ける方法 である
そこで、以下を考える


・CABDEFの順に塗ることを考える
Cは1番目だからなにも気にする必要なく、塗り方4通り
すると、AはCの色の制約を受けるから　その塗り方3通り
Bはさらに制約を受けて2通り
DはBCの制約を受けるの２とおり
以下同様に
E・・・２とおり
F…2通り
計4x3x2x2x2x2=192通り
樹形図をイメージしてもらえれば分かるがこの192通りには4色使っている物と、3色しか使っていない物が混在している
よって、3色または4色で塗る場合（４色以内で塗る場合）192通り

・4色で塗る場合・・・ややこしいので後回し

・3色で塗る場合
C・・・赤　とすると
A・・・白
B・・・黄色
D・・・白（Aと同色）
E・・・黄色（Bと同色）
F・・・赤（Cと同色）
が一例。
同色のところは自動的に塗れる色が１つに決まってしまうのがポイント
また、上の順に塗る色を考えるのもポイント
CABの色の塗り方は上のものが全てではなく、他も可能で
その塗り分けの方法は３！＝6通り（CABに異なる3つの異なる色を置く順列と考えられる）
CABが決まるとDEFは自動的に決まるから、6つの領域の塗り分けも６通り
使う色の組み合わせが
赤白黄色の他に
赤白黒
赤黄色黒
白黄色黒
と言うケースでも、やはり各々その塗るわけの方法は6通りずつあることになるから
赤白黄色黒の4色から3色を選び出して、その3色で領域を塗りわける方法の総数は6x4=24通り

よって、
4色で塗り分ける方法＝4色以内で塗り分ける方法-3色で塗り分ける方法=192-24=168 \^^