平面上において、4本だけが互いに並行で、どの3本も同じ点で交わらない10本の直線の交点の個数は全部で

平面上において、4本だけが互いに並行で、どの3本も同じ点で交わらない10本の直線の交点の個数は全部で何個か？

という数A、場合の数の問題で質問です。画像は解答なのですが、解答の説明を見ても式の意味が理解出来ません。どうしてコンビネーションを使うと交点の個数が分かるのですか？また、なぜ2個選ぶのですか？

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/13 22:24

写真に写っている部分には書いていませんが、三本以上の直線が一点で交わってはいない

という条件があるはずです

平行でない二本の直線は必ず一点のみで交わります
逆に、ある交点を考えた場合、その交点は二本の直線の交点となります
つまり直線二本の組と交点は1対1で対応します

余計分かりにくくなるかもしれませんが例でしめすと
平行でなく3本以上が一点で交わっていない4本の直線(直線1,直線2,直線3,直線4)があったら、
交点は6個で、交点にa,b,c,d,e,fと名前をつける代わりに、二つの交わる直線で名前をつけることができて、(12),(13),(14),(23),(24),(34)とできます

類似の、できる三角形の数を計算する問題も同様の考え方で
三角形=三本の直線の組み合わせ　が基本になってくるので、考え方を理解しておくと良いと思います


式の変形で考えるとNo.1様ご回答の通り
n本の直線がある場合に、ある直線1本は自分以外のn-1本と交わるので
n本の直線では n*(n-1) の交点ができるが同じ交点を2回数えるので2で割る
つまり　n(n-1)/2 = n!/(2!*(n-2)!) = nC2 となりますね

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2018/10/13 14:31

＞なぜ2個選ぶのですか

２個選ぶのではなく、２で割ると云う事では。
一度 この問題を離れて、平行でない直線で、
3本、４本 の場合の交点の数を考えてみて。
３本の場合は ３個、４本の場合は ６個 ですね。
3=(3x2)/2=3!/2!*1!=₃C₂ , 6=(4x3)/2=4!/2!*2!=₄C₂ 。
で、10本の場合は (10x9)/2=10!/2!*(10-2)!=10C₂ 。
（10 は小文字になりませんでした。）
4本が平行ですから、この4本で出来る交点の数だけ 少なくなるはずですね。