数学A (x+y+z)^5の展開式の異なる項の数を求めよ。答えがわからなくて答えを見ました。全てよく

数学A
(x+y+z)^5の展開式の異なる項の数を求めよ。答えがわからなくて答えを見ました。全てよくわからないのですが、なぜ〇が5個で｜が2個なのか分かりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/16 12:56

下記の回答者さんも書かれているように、(x + y + z)^5 を展開した項は、

　C(x^a)(y^b)(z^c)

となり、a, b, c は 0以上の整数で、
　a + b + c = 5
になります。

ということは、たとえば「項の要素は、x→y→z の順に書く」と決めれば
　xxxxx
　xxyyz
　xxxzz
　yyzzz
のように、すべての項は
　x(a=0～5) (区切り1) y(b=0～5) (区切り2) z(c=0～5)　（ただし a+b+c=5）
と書けます。
この「x, y, z の組合せ」が何種類あるかは、「x,y,z が合計5個」と「区切り2個」の「合計7個」を１列に並べる「並べ方」と考えることができます。
a=0（x が 0 個）のときには「区切り1」が「1番目」に来ますし、a=5（x が 5 個）のときには「区切り1」が「6番目」、「区切り2」が「7番目」に来て b=c=0 です。
それが「なぜ〇が5個で｜が2個なのか」ということです。
（「〇〇〇〇〇｜｜」なら a=5, b=c=0 つまり「xxxxx」だし、「〇〇｜〇｜〇〇｜」なら a=2, b=1, c=2 の「xxyzz」です）

ということで、「７つの中から、区切り線２つを何番目と何番目に置くか」という「７つから２つを選ぶ組合せの数」が求めるものになるわけです。（区切り線は、左に置いた方が「x と y の境い目」、右に置いた方が「y と z の境い目」になるので区別しません）

なので「x,y,z が合計5個」と「区切り2個」の「合計7個」の中の「どこに区切り線を２つ置くか」の組合せの数で、「(x + y + z)^5 を展開した項の種類」の数を計算できるわけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
〇と｜を使うやり方は学校でも習ったので分かりかったです。

お礼日時：2019/10/22 00:09

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/15 21:04

nHk は、嫌う人が多いので、あまり使わないほうがいいです。

実際に展開してみれば判りますが、(x+y+z)^n を展開して出てくる項は、
どれも、(定数)(x^a)(y^b)(z^c) ただし a,b,c は 0 以上の整数で a+b+c=n
という形をしています。

だから、5 を 0 以上の整数 a,b,c の和で表す表し方の個数
を求めればよいのです。
全部書きだしてしまったらどうですか？
5 = 0+0+5 = 0+1+4 = 0+2+3 = 0+3+2 = 0+4+1 = 0+5+0
= 1+0+4 = 1+1+3 = 1+2+2 = 1+3+1 = 1+4+0
= 2+0+3 = 2+1+2 = 2+2+1 = 2+3+0
= 3+0+2 = 3+1+1 = 3+2+0
= 4+0+1 = 4+1+0
= 5+0+0.
個数は、６＋５＋４＋３＋２＋１ = 21 です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変だけど分かりやすかったです。

お礼日時：2019/10/22 00:08

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/10/15 15:37

（ｘ+ｙ+ｚ）⁵　の項は、すべて

最初の（ｘ+ｙ+ｚ）から、どれか一つ
2番めの（ｘ+ｙ+ｚ）から、どれか一つ
3番めの（ｘ+ｙ+ｚ）から、どれか一つ
4番目の（ｘ+ｙ+ｚ）から、どれか一つ
5番目の（ｘ+ｙ+ｚ）から、どれか一つ
を掛け合わせたものです。

よって、ｘの乗数とｙの乗数とｚの乗数を合わせたものは5になります。
0乗になる場合は（ｘ⁰＝ｙ⁰＝ｚ⁰＝1　どれも1ですので、）その項はあえて書きません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
(x+y+x)^5をよく理解してませんでした。

お礼日時：2019/10/22 00:07