物理の質問なのですが、写真の問題の(3)で運動量保存則を使うというところまではわかって、そこで台に衝

Question

物理の質問なのですが、写真の問題の(3)で運動量保存則を使うというところまではわかって、そこで台に衝突直前の小球の速さは√2ghで、衝突後の小球の速さをv、衝突後の台の速さをVとして、m√2gh+0＝MV+mv としてといたのですが、答えが合いません。
恐らく衝突後の速さの向きに問題があると思うのですが、運動量保存則を使うときは自分で勝手に向きを決めず、正方向に最初は設定するものだったと思うのですがよくわかりません。
何が間違いなのかを教えてください。

yhr2 · Accepted Answer

No.1です。「お礼」に書かれたことについて。

＞自分も答えはそう出たのですが、それだと分子がm−Mとなってしまって、模範解答と逆になってしまうのですがそれは良いのでしょうか？

No.1に書いたように、
　v = [ (m - M)/(m + M) ]√2gh　　　①
となります。

運動量保存則の式を
　m√2gh + 0 ＝ MV + mv
と書いた時点で、衝突前の「m√2gh」、つまり「下向き」を「正」とする方向を決めていることになります。

そのときに、上の①式は
・M > m なら、小球は「上向き」に跳ね飛ばされて、v はマイナス、つまり衝突前と逆方向
・M < m なら、小球の運動量の方が大きいので、v はマイナス、つまり衝突後も「下向き」に進みます（速さは「台」の速さより小さいですが、向きは下向き）
となるので、方向も含めて正しいです。

模範解答の [ (M－m)/(M+m) ]√2gh では、この「符号」と「向き」の関係が逆になります。

模範解答では、「上向きを正」として求めています。
その場合には、運動量保存の式は
　-m√2gh + 0 ＝ MV + mv　　　　②
と書かないといけません。
反発係数の式も
　(-√2gh - 0)/(v - V) = -1　　　　③
になります。

そのときには、③から
　v - V = √2gh
より
　V = v - √2gh
として②に代入すれば
　-m√2gh + 0 ＝ M(v - √2gh) + mv
→　(M - m)√2gh = (M + m)v
→　v = [ (M - m)/(M + m) ]√2gh
となります。

「速度」はベクトルですから、「どちらを基準にするか」を明示しなければなりません。基準はどのように決めても構いませんが、一度それを決めたら、全てそれと整合するように式を立て、得られた結果もそのような「向き」で読み取ります。「一貫性」「整合性」を確保するということです。

tknakamuri · Answer

運動量保存則から、衝突の前後で運動量総和は変化しない。
これはMとmの重心の速度(下向き)=√(2gh)m/(m+M)が
変化しない。ことを意味する。

一方、衝突の前後で小球の重心に対する速度は符号反転するので、衝突後の小球の
速度をV(下向き)とすると
√(2gh)-√(2gh)m/(m+M) = -(V-√(2gh)m/(m+M))
V=√(2gh)(m-M)/(m+M)

yhr2 · Answer

＞m√2gh+0＝MV+mv としてといたのですが

はい、それでよいです。
v も V もベクトルですから、「正」か「負」かで方向が決まります。

＞答えが合いません。

どんな答になったのですか？

未知数が v と V の２つですから、方程式は２つ必要です。
１つは「運動量保存」でよいですが、もうひとつはどのような式を立てましたか？

通常は、「はね帰り係数が１」（つまり完全弾性衝突）から立てます。
相対速度の比から
　(√2gh - 0)/(v - V) = -1
です。つまり
　V - v = √2gh
これから
　V = v + √2gh
　m√2gh = M(v + √2gh) + mv
→　(m + M)v = (m - M)√2gh
→　v = [ (m - M)/(m + M) ]√2gh

もちろん、完全弾性衝突なので「運動エネルギー保存」からも求まりますが、式の変形が大変です。

物理の質問なのですが、写真の問題の(3)で運動量保存則を使うというところまではわかって、そこで台に衝

No.1です。

運動量保存則から、衝突の前後で運動量総和は変化しない。

＞m√2gh+0＝MV+mv としてといたのですが

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