【数I】 四角形ABCDにおいて、 AB=√3 BC=5 CA=2√7 ∠DBC=60° AD:CD

【数I】
四角形ABCDにおいて、
AB=√3 BC=5 CA=2√7 ∠DBC=60° AD:CD=1:√3 と定義されており、
次に直線ACに関して点Dと対称な点をEとし、直線ABと直線CEの交点をFとするとき AF/CF の値を答えよ。

と言う問題の解法がわからず困っています。
因みに、正解は (√7)/5だそうです。

なお∠ABC=90° BD=4 AD=√7 Sin∠CAF=(5√7)/14 であることは計算によって分かっています。

問題の解法を教えていただけると有難いです。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 最初から写真を貼っておくべきでしたね…
  画像を貼っても画質が悪くなる知恵袋から移住してきたので名残がぬぐえませんでした…

  
    補足日時：2018/11/30 00:22

No.3 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2018/11/27 08:43

計算ミス　陳謝

#1

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、正弦定理からAFとCFを求める手がありましたか！思いつきませんでした。
たしかにそれで計算するとAF/CF=(√7)/5が成り立ちますね。
簡潔で、おそらく出題者が想定したであろう解答だと思うので、誠に勝手ながら、今回は20170130様にBAを贈らせていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2018/11/30 00:41

No.5 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/28 01:37

四角形ABCDにおいて、

AB=√3 BC=5 CA=2√7 ∠DBC=60° AD:CD=1:√3 と定義されており、
次に直線ACに関して点Dと対称な点をEとし、直線ABと直線CEの交点をFとするとき
AF/CF の値を答えよ。
解
∠ABC=90°から、∠ABD＝30°。AD:CD=1:√3から、AD=x，CD=√3xとし、BD=yとする。
三角形ABDで、余弦法則から
x²=3+y²－2√3ycos30°=3+y²－3y＿＿①
三角形DBCで、余弦法則から
(√3 x)²=25+y²－2･5ycos60°=25+y²－5y＿＿②
式①✕3－式②を作ると、xが消去され、③となる。
0=－16+2y²+4y＿＿③
この2次方程式を解くとy=4，x=√7となる。
三角形ADCの三辺の比はx：√3x：2√7=1：√3：2から∠ADC=90°
∠ACD=30°である。Eは直線ACに関して点Dと対称な点だから、
∠ACE=∠ACF=30°である。∠BCA=θと書くと、tanθ=AB/BC=√3/5である。
∠BCF=θ－30°である。これのtanを取ると、tanの加法定理より
tan(∠BCF)=tan(30°－θ)=( tan30°－tanθ)/(1+ tan30°tanθ)
=(1/√3－√3/5)/(1+ 1/√3･√3/5)= (2/5√3)/(1+ 1/5)=1/3√3
直角三角形BCFのBC=5とtan(∠BCF)=1/3√3から
BF=5 tan(∠BCF)=5/3√3。
AF=AB+BF=√3+5/3√3=9/3√3+5/ 3√3=14/3√3
ピタゴラスの定理により
CF²=BC²+BF²=5²+５²/27=25･28/27
CF=10√7/3√3
AF/CF=(14/ 3√3)/(10√7/3√3) =(14)/(10√7) =7/(5√7) =√7/5
これが答えである。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
大変な計算をさせてしまって申し訳ないです…
なるほど、余弦定理、加法定理、三平方の定理などの術を駆使して求めるのですね！
丁寧な回答でわかりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/11/30 00:29

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2018/11/27 08:52

計算ミス　陳謝　#1

△CAFを考えて外接円の半径をRとすると
AF=2R*sin∠ACF
CF=2R*sin∠CAF
AF/CF=sin∠ACF/sin∠CAF

sin∠ACF=sin∠ACD
sin∠CAF は計算済み

でどうでしょう

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/27 00:11

AB^2 = 3, BC^2 = 25, CA^2 = 28 だから AB^2 + BC^2 = CA^2 つまり ∠ABC=90° でいいのでは＞#1.

きちんと図にしたうえで全ての角の sin, cos を計算していけばなんとかなる... たぶん. 紙がもったいないのであんまり自分でやる気にはなれんけど.

あと, 「Sin」じゃなくて「sin」ね.

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/11/26 10:56

AB=√3 BC=5 CA=2√7 から計算すると

∠ABC=90° とはならないので

何か問題の転記ミスか計算違いがあるようですが、どこが違うかはわかりません

正しい問題文を（小問も含め省略なしに）添付することをオススメします