【等式 x+2y+3y=12を満たす自然数x,y,zの組をすべて求めよ。】 画像は解答の1部ですが、

【等式 x+2y+3y=12を満たす自然数x,y,zの組をすべて求めよ。】
画像は解答の1部ですが、黄色線をひいた式が分からずつまずいています。
わからないポイントとしては、なぜxとyに1を代入したのか、なぜ｢≦｣で結ぶことができるのか、です。

No.4 回答者： kurikuri_maroon 回答日時： 2018/11/28 00:01

設問の最初の前提により、ｘもｙもｚも自然数（正の整数）ですよね。

つまり、ｘもｙもｚも０以上で、かつ、１以上です。自然数で最も小さなものは１ですから。

次に、式を書き替えてみましょう。
理屈抜きで、係数が最大なものを左辺に置く、という点がポイントです。セオリーとして丸暗記しましょう。

ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝１２ ‥‥ ①
　⇒　３ｚ＝１２－ｘ－２ｙ

ここで①から考えるに、１２－ｘ－２ｙ は、どう考えても １２以下でなければなりません。
これは、式を見ればわかりますよね？

ですから、次のようになります。

　⇒　３ｚ＝１２－ｘ－２ｙ≦１２ ‥‥ ②

で、このとき、まずは、ｘとｙに自然数で最も小さなもの（＝１）を代入してみるんです。
ここもポイントで、理屈抜きに、セオリーとして丸暗記してしまったほうが良いと思います。
すると、②は、次のようになります。

　⇒　３ｚ＝１２－１－２・１＝９≦１２
　⇒　３ｚ≦９
　⇒　ｚ≦３ ‥‥ ③

つまり、ｚは自然数なので、ｚ＝１、ｚ＝２、ｚ＝３になります。
③が言っているのは、そういう意味です。

ここまで出たら、ｚについて小さい値から順にあてはめていって、式①を満たすｘ、ｙの組み合わせを探してゆきます。
以下のとおりです。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（１）ｚ＝１のとき
ｘ＋２ｙ＋３・１＝１２
　⇒　ｘ＋２ｙ＝１２－３＝９
　⇒　ｘ＋２ｙ＝９
　⇒　２ｙ＝９－ｘ　⇒　９－ｘということは、ｘは９以下の数。２ｙということは、２の倍数。
　⇒　２の倍数で９以下になる最も大きい数は８。つまり、２ｙ≦８。だから、ｙ≦４。
　⇒　このとき、ｘ≦１。

以下、ｚ＝１で固定し、ｙを４、３、２、１‥‥と少なくしていって、◯に当たるｘを求める。

答え　１：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、４、１）＝（１、４、１）
答え　２：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（◯、３、１）＝（３、３、１）
答え　３：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（◯、２、１）＝（５、２、１）
答え　４：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（◯、１、１）＝（７、１、１）

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（２）ｚ＝２のとき
ｘ＋２ｙ＋３・２＝１２
　⇒　ｘ＋２ｙ＝１２－６＝６
　⇒　ｘ＋２ｙ＝６
　⇒　２ｙ＝６－ｘ　⇒　６－ｘということは、ｘは６以下の数。２ｙということは、２の倍数。
　⇒　２の倍数で６以下になる最も大きい数は６。つまり、２ｙ≦６。だから、ｙ≦３。
　⇒　このとき、ｘ≦１。

以下、ｚ＝２で固定し、ｙを３、２、１‥‥と少なくしていって、◯に当たるｘを求める。

答え　＊：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（０、３、２）＝（０、３、２） ⇒ ｘ≦１でなければならないので、これはダメ
答え　５：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（◯、２、２）＝（２、２、２）
答え　６：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（◯、１、２）＝（４、１、２）

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（３）ｚ＝３のとき
ｘ＋２ｙ＋３・３＝１２
　⇒　ｘ＋２ｙ＝１２－９＝３
　⇒　ｘ＋２ｙ＝３
　⇒　２ｙ＝３－ｘ　⇒　３－ｘということは、ｘは３以下の数。２ｙということは、２の倍数。
　⇒　２の倍数で３以下になる最も大きい数は２しかない。つまり、２ｙ＝２。だから、ｙ＝１。
　⇒　このとき、ｘ≦１。

以下、ｚ＝３で固定し、ｙを１として、◯に当たるｘを求める。

答え　７：（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、１、３）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

以上、（ｘ、ｙ、ｚ）には計７つの組み合わせがあることが判明します。
以下のとおりです。

（１、４、１）（３、３、１）（５、２、１）（７、１、１）
（２、２、２）（４、１、２）
（１、１、３）

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/11/25 12:12

2y＝12－（ x+3ｚ）から（ x+3ｚ）は偶数

２ｙ　　　　　　　（ x+3ｚ）
２・１　　　　１０（１＋３・３）
２・１　　　　１０（４＋３・２）
２・１　　　　１０（７＋３・１）

２・２　　　　　８（２＋３・２）
２・２　　　　　８（５＋３・１）

２・３　　　　　６（３＋３・１）

２・４　　　　　４（１＋３・１）

２・５　　　　　２（なし、 x+3ｚ≧４）

（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、１、３）、（１，４，１）、（２、２、２）、（３，３，１）、（４，１，２）、（５，２，１）、（７、１，１）
の7組

No.2 回答者： unkoman8 回答日時： 2018/11/25 11:26

xもyも自然数なので、1以上の値をとります。

xと2yと3zを足して12になるという条件なので、
xが大きくなれば他の2つ（yとz）は小さくなります。
yとzについても同様です。
そのため、zが最大になるのはxとyが最小のとき（x＝y＝1のとき）になります。
そのため、xとyに1を代入してzの最大値を求め、zがとりうる値を絞り込んでいるわけです。
値が絞り込めれば（この場合は1、2、3の3つに絞り込めています）、
それぞれをzに代入して、xとyの取りうる値を計算すれば答えが出せます。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/11/25 11:18

まず、x,y,zは自然数と問題に書いてあります。

自然数の最小値は1、つまりx≧1, y≧1, z≧1になります。

x+2y+3z=12
3z=12-x-2y

右辺に注目すると12からxとyを引いています。
ということは、xとyの最小値を代入すればzの最大値が求められます。
x≧1, y≧1ですので、xもyも最小値は1になります。
x=1, y=1を代入すると、

3z=12-1-2=9
3z=9
z=3

z=3がzの最大値になります。
zも自然数なので、zがとりうる範囲は1≦z≦3となります。
また、自然数＝正の整数なので、最終的にzがとりうる自然数はz=1, 2, 3になります。

xとyも同様の考え方でx,yがとりうる自然数を求めることができます。
あとはx+2y+3z=12が成立するx,y,zを、x,y,zがとりうる自然数の中から選択すれば、最終的な答えの組み合わせが導き出せます。