単位円上の偏角αの点と偏角βの点は偏角の相加平均(α+β)/2を偏角とする直線に対して対称である事を

単位円上の偏角αの点と偏角βの点は偏角の相加平均(α+β)/2を偏角とする直線に対して対称である事を証明して下さい。三角関数の加法定理は使わないものとします。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/30 12:48

其々の点を、A、B、Cとしましょう。

また単位円の中心をOとします。
定義から角度AOCと角度BOCは同じで、
それらを挟む辺は円の半径で全て等しいことから
AOCとBOCは合同。
従ってAOCとBOCはOCで折り曲げて重ねられるので
OCに対して線対称(鏡映)

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/11/27 18:00

(α+β)/2を偏角とする直線と単位円との交点をRとすれば、

扇形OβRと扇形OαRの面積が等しければいいが、単位円なので、
間の角度が等しければ、対称なので、
βー(α+β)/2=(βーα)/2 ……(1)

(α+β)/2ーα=(βーα)/2 ……(2)

(1)=(2)より、対称である。