真空中における電位がφ(x,y,z)= xyz(V)で 与えられるとき、0≦x,y,z≦4の立方体中

真空中における電位がφ(x,y,z)= xyz(V)で
与えられるとき、0≦x,y,z≦4の立方体中に蓄えられるエネルギーを求めよ。

の問題です！

解答お願いいたします！
E=-gradφ=- [yz, xz, xy ]となるのですが
その先がわかりません。

ご教授よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/06 22:37

∭(yz)²dxdydz＝∫(0→4)dx∫(0→4)y²dｙ∫(0→4)ｚ²dｚ

＝ｘ(0→4)・y³/3(0→4)・z³/3(0→4)
＝4・4³/3・4³/3＝4⁷/9
対称性から∭(yz)²dxdydz＝∭(zx)²dxdydz＝∭(xy)²dxdydz＝4⁷/9だから
∭E²dxdydz＝∭{(yz)²+(xz)²+(xy)²}dxdydz＝3×4⁷/9=2¹⁴/3=16384/3
静電場のエネルギー=∭(1/2)εE²dxdydz=(1/2)ε∭E²dxdydz
=(1/2)ε16384/3
となる。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/12/02 16:20

単純に

(1/2)ε∫E^2dxdydz
を指定範囲で積分するだけ。
E^2=(yz)^2+(xz)^2+(xy)^2
(1/2)ε∫E^2dx=6(64/3)^2ε
かな。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/12/02 14:08

静電場のエネルギー密度は (1/2)ε|E|^2