約数の問題

１×２×３×４×・・・×ｎ
の約数は何個あるか？

質問者からの補足コメント

• 事実としては
  １は１個、２は２個、６は４個、２４は８個、１２０は１６個、７２０は３２個、・・・
  理由はどうなのか？

    補足日時：2018/12/28 17:55

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/12/28 19:07

n以下の素数をp_1,p_2,...,p_kとします。

(p_1=2,p_2=3ですね)
1*2*3*...*n=p_1^M_1*p_2^M_2*...*p_k^M_k
と因数分解できるとしましょう。

このように因数分解できる数の約数は
p_1^m_1*p_2^m_2*...*p_k^m_k (任意の1≦q≦kに対して0≦m_q≦M\q)
の形に因数分解できるものに限られ、上記の式で表される数は全て1*2*3*...*nの約数になります。

このような数が何個あるか、それはm_1,m_2,...,m_kのとりうる組み合わせが何通りあるかで決まります。
m_1は0～M_1までM_1+1通り
m_2は0～M_2までM_2+1通り
...
m_kは0～M_kまでM_k+1通り
あります。全ての組み合わせの数はそれらを全て掛け合わせた
(M_1+1)*(M_2+1)*...*(M_k+1)　通りあります。
これが求める約数の個数です。

ただ、nに対してp_kがいくつになるのか、これを知るには実際に1*2*3*...*nを計算してそれ以下の最大の素数を求めるしかありません。
そのようなp_kを計算してくれる関数は今のところないのです。

この回答へのお礼

なるほど。問題は算数程度のようですが。

お礼日時：2018/12/28 20:04

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/12/28 18:02

で？

素数には1と自分自身。一般のnまでに素数が幾つあるかは、誰も定式化して無いわけ。
出来ない訳。だから、約数が幾つあるかは定式化できないわけだ。

解らん奴だな！

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/12/28 12:23

1～nの中にある素数を、nの関数で表した人は未だいない。

∴一般解は見つかっていない。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/12/28 09:56

一般解はないのでは？

どういうレベルの数学における質問なのかな？