何故回転体の体積を求める際に回転する前の面積を出して2乗しπをかけてはいけないのですか？

何故回転体の体積を求める際に回転する前の面積を出して2乗しπをかけてはいけないのですか？

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/08 12:31

1辺が10cmの正方形の1辺を軸として回転したら円柱になる。

面積100だから2乗してπを掛けたら、10000π。
円柱の体積は底面積=100π、高さ10だから、体積=1000π。
10倍違う。

回転前じゃ無く、回転に伴って出来る面積(この場合は底面の円)×高さ
積分式はこうなっている。
∫r²πdyこれをy=0～高さrまで計算すると円柱。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/08 11:09

例えば、下図のような、赤線と紫線からなる直角三角形を

赤線を軸に回転させてできる円錐の体積の求め方について考えます。
その方法は、円錐を底面（黒円に）に平行に、細かく切り分けていって、
分割された立体の体積を１つ１つ求め、最後にそれらを足し合わせるというものです。
つまり、下図において（右側の黒線2本は間違って書かれてしまいましたので、無関係です）
底面が黒円、上面が青円の立体・・・①
底面が青円、上面が緑円の立体・・・②
底面が緑円、上面が黄色円の立体・・・③
・
・
というように下から上まで切り分けるのです。ただしそれぞれの立体の底面と上面の間隔（高さは）
極めて短くなるように切り分けます
すると、①②③・・・はとても薄い円柱（とても薄い輪切りのスライスハムのようなイメージ）になります。
下図では、①②③はあまり薄くないので、円柱には見えませんが、積分で回転体の体積を求める場合は、これらをとてつもなく薄くするのでほぼ円柱とみなせます。
そして、これら1枚1枚のスライス（薄い円柱）の体積は
｛底面（円）の面積｝x｛高さ｝ですから
回転後にできる黒、青、緑、黄・・・の円の面積とそれぞれの薄さ(高さ）を掛け算することになるのです
さいごに、これら全てのスライスの体積を足し算したものが、回転体の体積になります
このような仕組みですから、もとの直角三角形の面積は、回転体の体積を求めるのには役立ちませんよ＾－＾￥

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/01/08 10:50

例えば1ｘ10ｃｍの長方形を縦に回転させた時にできる円柱の体積は　10π　ですが、

横に回転させたときの体積は　100π　になります。

同じ面積でも回転軸より遠いいところで回転させたときのほうが体積が大きくなるということです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/08 10:22

体積は、直方体なら「底面積」に「高さ」をかけて求めますよね？

「底面積」を２乗して、何かの定数をかけると体積になりますか？
「底面積」から「高さ」を求めることはできないんですよ。

回転体の体積は、ある意味で「断面積」に「回転長さ（円周）」をかけて求めます。
でも「断面積」から「円周」は求まりません。

No.1 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/01/08 10:15

平行移動ならばそれでいいのですが、回転体の場合、回転軸に近い部分と離れた部分では回転によって生じる軌跡の長さが変わるため、その付近の体積も変わってきます。