数学の問題です。

数学の問題です。画像の問題を解説してください

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/15 23:06

基本に忠実にやってみましょう。

曲線 y=f(x) の x=t における接線は、
点 (t,f(t)) をとおり傾き f'(t)。
すなわち、y=f'(t)(x-t)+f(t) …[1] です。
この式はスラスラ出ないとね。

f(x)=(2/27)x^3 であれば、[1]は
y={(2/9)t^2}(x-t)+{(2/27)t^3}
=(2/9)(t^2)x-(4/27)t^3 となる。…[2]
これが、ア〜オです。

同様に、y=g(x)=(1/4)(x-a)^2 の
x=u における接線は
y=g'(u)(x-u)+g(u)
=(1/2)(u-a)(x-u)+(1/4)(u-a)^2
=(1/2)(u-a)x-(1/4)(u-a)(u+a). …[3]

C1,C2の共通接線は、[2]とも[3]とも書けるから、
[2][3]の係数を比較して
(2/9)(t^2)=(1/2)(u-a),
(4/27)t^3=(1/4)(u-a)(u+a).
両式から u を消去すれば
(t^2)(2t^2-6t+9a)=0 となる。…[4]
これが、カ〜クです。

共通接線が３本あるとは、[4]が t の解を３つ
持つことなのだが、それには、
2t^2-6t+9a=0 が t=0 以外の解を２つ持てばいい。
判別式 D/4=(-3)^2-4・2・9a>0 かつ
2・0^2-6・0+9a≠0 より、
a<1/8 かつ a≠0.
これが、ケ〜サです。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2019/01/15 19:46

まぁセンター試験レベルの簡単な問題で、教科書に書かれている事に、忠実にやってれば解けるかな。