変分法と停留条件について

変分法はある関数（積分で表示されたりするものとか）の停留条件を求めるために使われるものだと思います。停留条件がどうして意味があるのかについては答えてくれないですね。とにかく停留条件を求めよ、という指示をインプリメントするものだと思われます。２つの媒体が接しているところに光が入射する場合、屈折するわけですが、２つの点の最短距離あるいは最短時間（つまり停留）を求めるのに使われる（そしてあのおなじみのsinθ1/sinθ2が出てくる）わけですが、光が最短距離・時間となる道筋を選択するのはなぜかについては何も言わないという理解はOKでしょうか。物理方程式の導出などもそうですが、停留条件という制約から出てくるわけですが、なぜ停留条件になるかは説明されるのでしょうか。物理と数学のの関係ということですが、物理的解釈を数学がインプリメントするという風に見えます。物理的にどう理解したらいいでしょうか。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/18 07:56

光に話と限ると、ホイヘンスの原理により、

個々の経路の和を全て足したものが終点に届きます。
但し、位相のよく揃っている経路は最短経路付近だけで、
他の経路は位相の変化が激しく、打ち消しあって
終点への寄与が少ない。なので始点から終点までの光の経路は
最短光路長付近が主と考えます。

これは屈折に限らず、均質な媒質中を始点とから終点へただ
真っ直ぐ行くケースも同じ。

最短経路付近の、経路のズレに対する位相の回転量を
計算してみると納得出来ると思いますよ。

この手の話は物理の本で結構いろいろ読んだ記憶が有ります。
ファインマンの「光と物質の不思議な理論」とか・・・

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ファインマンあの本ですね。黒い小さな本で、今、ふと見上げたら書棚にありました。”素人の君わからなならそれは僕の書き方がわるいんだ”って書いてありました。ファインマンなら何か言ってそうですが。位相まで登場させると確かに打ち消しあうものが出てきて打ち消しあわないものが残るとそれが最短経路になっていたということはあるかもしれません。その他の物理方程式もそういう面（すなわち解が波動として表現できるっていうこと）があるのかもしれませんが。経路積分とかが出てくるんですかね。雑誌数理科学の新年号って経路積分が特集でした。さっき書店で見たのですが。

お礼日時：2019/01/22 14:52

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/01/18 08:47

すみません。

答えはわかりません。コメントです。「関数」の停留条件ではなく，「関数の関数」つまり「汎関数」の停留条件だそうです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/19 09:24

>物理方程式の導出などもそうですが、

>停留条件という制約から出てくるわけですが、
>なぜ停留条件になるかは説明されるのでしょうか。

オイラーラグランジェの運動方程式は、変分法でも
求まりますが、二ュートンの3法則から演繹で
求めることも出来るので、ある条件下では運動は
変分法でも計算できる

と、解釈してます。外カとかがあると破綻するので
たまたま便利な変換が出来る場合もあるくらいに
考えてます。
#ラグランジェの運動方程式の扱える範囲は、変分法が適用できる
#範囲より広い。

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2019/01/19 11:56

変分法そのものは、単なる汎関数の最大・最小を求める方法ですので、なぜその量を最大・最小にすればよいのか、という事は教えてはくれません。

例えば関数f(x)を最大にするxを求めたい時にf'(x)の零点を求めればよい、という方法が「なぜ最大にするxを求めたいと思ったのか」を教えてくれてないのと同じ話です。


最小化・最大化問題に帰着させることで問題が解きやすくなったり、分かりやすくなったりする事があります。
そこで光の道筋や古典力学の運動方程式(ma=F)のような、解きたい問題に対して、そういう最小化・最大化問題に帰着できないかと考えるために、距離・時間や作用のような量の停留条件を求めてみたら光の道筋や運動方程式が得られた。
つまり、もともと解を知りたかった問題(光の道筋や古典力学の運動方程式)が、最大・最小化問題に帰着させられる事が分かった。

というのが大まかな流れです。

こういう最小化・最大化問題に帰着できる事の確認や証明そのものが、「その量を最大化・最小化すればよい」ことの説明になるのではないかと思いますが、それ以上の理由を与えたいのであれば、一般論としては、
「光の道筋や運動方程式(ma=F)あるいはその解がそういう性質を持っていたから」
としか言いようがないのでは。もちろん、何らかの理屈を与える事ができる場合もあるとは思いますが。

No.5 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/01/22 08:32

数値解析法のひとつの考え方から「解釈」してみます。

　社会現象や物理現象は最初はほぼ微分方程式でモデル化できると思われます。それを微分作用素 L を使って，外乱 f に対する応答 u の式として，ある領域 D において
　　L u = f
と，よく書きますよね。そこで，変分とは若干関係ありますが，停留原理とは無関係の仮想仕事式を，応答の変動 δu を乗じて領域内で合計をとると，形式的には（まだΦの存在は問うてないので）
　　δΦ = ∫_D δu L u dV - ∫_D δu f dV
　　　　 = ∫_D A δu B u dV - ∫_δD C δu g dA - ∫_D δu f dV = 0
と表すことができます。2行目は Gauss の発散定理（部分積分と考えてもいいです）を用いて境界 δD の影響も含めたものです。A, B, C も微分作用素です。もしこの第2行目の式が u で積分でき（少なくとも A=B でないと積分できませんが）て Φ が関数(function) u の汎関数 (functional) として定義できれば，上の仮想仕事式は Φ の停留原理と解釈できます。つまり仮想仕事式が第一変分と一致する。
　ただ，例えば，ロケットの推進力が f であるような現象，つまり f が非保存力であるような場合には仮想仕事式は積分できないので Φ が定義できないことになります。他の方のご回答のように，このような汎関数が定義できる物理現象・社会現象は変分法でも表すことができて，そうでない現象も世の中にはたくさんあるということと考えてみるってのは・・・いかがでしょう。

この回答へのお礼

懇篤な回答ありがとうございます。停留条件が仮想仕事の第一変分と一致するためには理想的な状況設定が必要という風に思いました。解釈への援用に用いるため、理想化はありうることだと思います。一方でこの変分法はある種の現実的な猥雑さにも対応すると言う面もありますね。何らかの拘束条件を付加してペナルティ関数とかラグランジュの未定定数法とかと組み合わせて関数を定義して、その停留というもので調べていくということです。有限要素法などもそのようなものが背景だと思います。このような場合もやはり停留が核になる考え方かなと思います。

お礼日時：2019/01/23 10:37