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数学です!x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組はなん組あるかという問題について教えてください!

gooドクター

A 回答 (4件)

x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組は


(x,y,z)=(1,1,6)や(2,3,3)など
整数なので、x=1.5等はあり得ません。
そこで、(x,y,z)=(1,1,6)の解釈を変えます。この場合x,y,zの3人に8個のアメを1,1,6として分けたと考えることもできます
(2,3,3)ならx,y,zの3人にアメを2,3,3として分けた ということです。
つまり本問は、x,y,zの3人に8個のアメを配る場合、配り方は何通りあるか?(ただし、各人最低1つはアメをもらう事とする)と言う問題にすり替えることが出来るのです。(x,y,zが人間ではなく箱としても良いし、あめではなくペンでも、適当に決めて良いです)

ということで、8個のアメの配り方を考えます。
各人最低1つはアメをもらう、と言う条件があるので予め1こづつアメを配っておきます
この段階で(x,y,z)=(1,1,1)残るアメは5個です。
この5個の配り方の一例は、アメ:「○」5こと と、仕切り:「|」2個を用いて
  ○  |  ○  |○○○
  ↑     ↑    ↑
xの場所  yの場所   zの場所
のように書き表すことが出来ます
この場合5個のアメのうち、x、yは1こづつ、zは3個配られたという意味です
(あらかじめ配られたものと合わせると(x,y,z)=(2,2,4))

別の例としては
||○○○○○
などもあります。この場合仕切りの左(xの場所)及び、仕切りと仕切りに挟まれた場所(yの場所)に○は無いから
5個のアメはx、yに0こづつ、zは5個配られたという意味です。
(ちなみにこの時、あらかじめ配られたものと合わせると(x,y,z)=(1,1,6)になります)
このように、仕切りでx,y,zの場所を決めてあげ、そこに○を配るというように考えると、アメ5個の配り方のすべてのケースを網羅できるわけです(つまり、あらかじめ配られたアメと合わせれば、(x、y、z)のアメの個数を全て網羅できるということ)

そこで、「○|○|○○○」…①や「||○○○○○」…②などが全部でいくつあるか数えに行きます。
よく見るといずれの場合も、
全部で7個のBOX(□)・・・□□□□□□□
に仕切り「|」2個を入れた物になっています。
左から2番目と4番目のBOXに仕切りを入れた場合が①
左端と、左から2番目のBOXに仕切りを入れた場合が②です。

この他にも仕切りを入れるBOX2か所の組み合わせを変えることで、アメ5個の配り方のすべてのケースを表現できます。
なので、仕切りを入れるBOX2か所の組み合わせをすべて数えます。
異なる7個のBOXから仕切りを入れる2個を選ぶ組合せなので7C2通りです。
この回答を逆順にたどっていけば、これ(7C2)がアメ5個の配り方に等しく、
つまりはアメ8個の配り方に等しいので
x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組に等しいと言うことになります。

このようなBOXと仕切りを用いる考え方を重複組合せと呼びます
(これを初めから式だけで表すと、異なる3種類の物から重複を許して5こ取る組み合わせということで
₃H₅=₃₊₅₋₁C₅=₇C₅=₇C₂となりますが、上の考え方を理解したうえで余裕があれば₃H₅の式をマスターしてください)

なお、重複組合せでは②のように5個のアメを(0,0,5)に分ける場合も数えていることになるので、注意が必要です
この問題で初めから、アメ8個をx,y,zの3人に分ける方法は
全部で10個のBOX(□)・・・□□□□□□□□□□
に仕切り「|」2個を入れた物であるから10C2だと考えてしまうと
(x,y,z)=(0,0,8)なども数えてしまう事になるので題意「正の整数」に合いません
(だから、あらかじめ1こづつアメを配ったとしているのです)
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この回答へのお礼

本当にありがとうございます!とても分かり易かったです!このやり方をマスターすれば周りと差をつけられますね!またお答え戴けると有り難いです!改めてありがとうございました!

お礼日時:2019/01/23 18:23

1つづつ書き出すんですか?x+y+z=8だからまだいいけれど


x+y+z=60とかだったらどうしますか?
テストの時間を全て費やさなければ答えが出ないかもです。
組合せの考え方をマスターしないと厳しいですよ!(周りの人に差をつけられてしまいます)
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この回答へのお礼

そうですよね...実はわからないところがあってxyzに数字1を配るとありますが数字1とはなんの事でしょうか?考えていたんですが○を使うやり方が理解することができませんでした。もう一度そこだけ教えて頂けないでしょうか?何度もすみませんm(_ _)m

お礼日時:2019/01/22 21:08

自然数 3つの和が 8 ですから、1~6 の6つの数字しか使えませんので、


一つづつ 場合を書き出していくしかないでしょうね。
1+1+6=8, 1+2+5=8, 1+3+4=8, 2+2+4=8, 2+3+3=8 の5通り しかありません。
(x,y,z) が (1,1,6); (2,2,4); (2,3,3) の場合は、並び方がそれぞれ 3組で、合わせて9組。
(1,2,5); (1,3,4) の場合は、並び方がそれぞれ 6組で、合わせて 12組。
合計で9+12=21 で 21組。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!やっぱり数えるしかないんですね、、、

お礼日時:2019/01/21 15:24

x,y,zに数字1、八こを配るというように考えます。


x,y,zは正の整数なので、数字1をあらかじめ一個ずつ配っておきます
すると残る数字1、五こを配る方法は自由で多数あります
ここで、重複組合せの考え方を利用
左から順にxの場所、yの場所、zの場所、そして仕切りとすると
○○|○|○○
は配られた1が、xは二個、y=1個,z=2個を表します(初めから配っておいた1三個を合わせれば(x,y,z)=(3,2,3))
||○○○○○
ならx=y=0,z=5です(初めから配っておいた1三個を合わせれば(x,y,z)=(1,1,6))
このように7か所に仕切り2こを入れる方法の違いによって、x,y,zの数値が決まりますので
しきりの配置の仕方を数えます
異なる7か所から異なる2か所を選ぶので7C2=21通りです
よって残る数字1、五こを配る方法は21通り
つまり、x+y+z=8を満たすような正の整数(0は含まない)x、y、zの組も21組です^-^¥
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2019/01/21 15:24

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