数学の記号"⇔" "∴"の使い方を教えてください

Question

stomachman · Accepted Answer

∴ ってのは、「だから」って意味であり、読み方はそのまんま「だから」です。これは文字で「だから」と書くのを省略したものにすぎません。数学や論理学の正式な記号ではないのですが、証明や説明を書くときに「だから」の代わりに使います。同様に、∵ は「なぜならば」を省略した表記です。
　手早く書けるからメモや板書ではよく使います。しかし、本や論文ではあんまり使いません。∵ 読者が属する文化によってはあまり知られていないかもしれず、 すると以上のような説明をどこかに書いておかなくちゃならない。そんな手間を掛けるよりも「だから」「なぜならば」と書いちゃった方が簡単だし読む方も楽。∴ 誰にでも通じる記号とは思わない方が良いけれど、答案に使うのは問題なしです。

⇔ は論理式の演算子です。厳密に言えば、数学の記号ではなくて記号論理学の記号、ということですが、現代数学は記号論理学の上に乗っかっているので、数学に出てくるのは当たり前ではあります。

A, Bを命題とするとき、「命題Aが真なら命題Bも真、命題Bが偽なら命題Aも偽」という主張は
　　A ⇒ B
と書いて「AならばB」と読む。このとき、Aを「Bの必要条件」、Bを「Aの十分条件」と呼びます。そして、「A ⇒ B と B ⇒ A が両方とも成り立つ」という主張を
　　A ⇔ B
と書いて「命題Aと命題Bは同値である」と読む。このとき「A,Bは互いに必要十分条件」と言います。
　　
　ついでに、「命題」について確認しておきましょうか。真であるか、さもなくば偽、どっちかにはっきり定まる言明を命題と言います。たとえば
　　3+1 ≧ 5
というのは偽の命題ですし、
　　2+1 = 3
は真の命題です。
　ところが、
　　x + 1 = 0
は（xが何であるかによって真偽が変わるから）命題ではなく、「述語」P(x)と呼ばれます。

記号論理学の基本的な記号を簡単に紹介しましょう。
述語P(x)は、xに具体的なナニカ（「対象」と呼ばれます）を代入したときに命題になるような式のことですが、
　　∃x P(x)
は命題であり、「P(x)を満たすxが存在する」という意味です。つまり、
　　P(a)
が真になるような対象aが存在する、ということであり、たとえば
　　∃x(x + 1 = 0)
は真の命題です。xに対象 -1 を代入すれば (x+1=0)が真になるからです。
　また、
　　∀x P(x)
も命題で、「どんなxもP(x)を満たす」という意味です。だから
　　∀x(x + 1 = 0)
は偽の命題です。

命題の前に¬（NOT。"〜"と書くこともあります）をつけたもの、たとえば
　　¬(2+1 = 3)
も一つの命題であり、「(2+1 = 3)の否定」を意味します。
　命題同士を∧(AND)でつないだもの、たとえば
　　(3+1 ≧ 5)∧(3+1 ≧ 5)
も一つの命題であり、「(3+1 ≧ 5)であり、かつ、(3+1 ≧ 5)である」という意味です。また、命題同士を∨(OR)でつないだもの、たとえば
　　(3+1 ≧ 5)∨(3+1 ≧ 5)
も一つの命題であり、「(3+1 ≧ 5)であるか、または(3+1 ≧ 5)である」という意味です。(A,Bが両方とも真であってもA∨Bは真です。）
　同様に
　　A ⇒ B
も一つの命題ですし、
　　A ⇔ B
も一つの命題です。たとえば
　　(x=0) ⇔ (x=1)
というのは(x=0とx=1は互いに必要十分条件になっていませんから）偽の命題です。なのでうっかり
　　A ⇔ B ⇔ C
と書くと（このうっかりをやらかしている参考書は多いようですが）
　　(A ⇔ B) ⇔ C
という意味になり、これは
　　A ⇔ (B ⇔ C)
や
　　(A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C)
とは全く異なりますのでご注意。どう違うか、については、ご自分でA, B, Cにいろんな命題を入れて試してみると良いと思います。

kairou · Answer

「⇔」 は 常に数学で使う記号ではないと思います。
「＝」に近い意味、又は 「⇒」・「⇐」とセットで
 「必要十分条件」に使う事が多いと思います。

yhr2 · Answer

"⇔"は、「等価」とか「同値」との意味で使うと思います。別に「数学記号」というわけではないでしょう。

"∴"は、「従って」「ゆえに」という「論理的な帰結」を示します。読むときには「ゆえに」ですね。

＞他に、数学で使う、このような類いのものも、あれば教えてください

" = " イコール、等しい。
" + " 加算、足し算
" - " 減算、引き算
" × " 乗算、かけ算
" ÷ " 除算、割り算

当たり前に使うでしょ？

" ≡ " 合同。定義。
" ∽ " 相似。
"∵" なぜならば。（「ゆえに」の上下逆転）
"≠" 等しくない
"≒" "≅" ほぼ等しい、ニアリーイコール
"<" ">" "≦" "≧" 大小関係を表わす記号

などもありますね。

詳しいものは、こんなサイトを見てください。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8

ありものがたり · Answer

そのテのものを多様するのは、中二病の症状のひとつです。
中３以上、特に高校生は、なるべく日本語で記述しましょう。

数学の記号"⇔" "∴"の使い方を教えてください

∴ ってのは、「だから」って意味であり、読み方はそのまんま「だから」です。

「⇔」 は 常に数学で使う記号ではないと思います。

"⇔"は、「等価」とか「同値」との意味で使うと思います。

そのテのものを多様するのは、中二病の症状のひとつです。

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「⇔」は常に数学で使う記号ではないと思います。