曲線y＝3/2X(2-X)とX軸および直線X＝1で囲まれる図形の面積をSとする。nを自然数とし、X軸

曲線y＝3/2X(2-X)とX軸および直線X＝1で囲まれる図形の面積をSとする。nを自然数とし、X軸上の区間[0,1]をn等分する。今、図(a)のように、幅1/nの長方形を作成し、それらの面積の合計をSnとする。以下の問いに答えよ。

(1)n＝10とした場合のSnの値を求め、S-Snを計算せよ。
※ちなみにS＝1でした。
(2)自然数nを用いて、S-Snの式を求めよ。
(3)S-Sn<1/2^5となるための自然数nの条件を求めよ。
(4)ここで、図(b)に示すように、幅1/nの台形を作成し、それらの面積の合計をSn'とする。自然数nを用いて、S-Sn'の式を求めよ。
(5)S-Sn'<1/2^5となるための自然数nの条件を求めよ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/11 18:07

(1)

まず最初に、Sn を求めてしまいましょう。
y ＝ f(x) = (3/2)x(2-x) と置くと、
Sn = Σ[k=0..n-1] (1/n)f(k/n)
= Σ[k=0..n-1] (1/n)(3/2)(k/n)(2-k/n)
= (1/n)(3/2) Σ[k=0..n-1] k(2n-k)/n^2
= (3/2)(1/n^3){ 2n Σ[k=0..n-1] k - Σ[k=0..n-1] k^2 }
= (3/2)(1/n^3){ 2n (1/2)(n-1)n - (1/6)(n-1)n(2n-1) }
= (n-1)(4n+1)/4n^2.
これを使って、
S10 = (1/4)(9*41)/10^2 = 369/400.
小問(2)の存在にだまされて (1/10)( f(0/10) + f(1/10) + …
とかやったら地獄を見ますね。

(2)
S = ∫[0..1] f(x) dx
= ∫[0..1] (3/2)x(2-x) dx
= (3/2) ∫[0..1] (2x - x^2) dx
= (3/2) [ x^2 - (1/3)x^3 ]_(0..1)
= (3/2)( (1^2 - 0^2 ) - (1/3)(1^3 - 0^3) )
= 1.
より、
S - Sn = 1 - (n-1)(4n+1)/4n^2
= (3n+1)/4n^2.

(3)
S - Sn = (3n+1)/4n^2 < 1/2^5 を整理すると
(1/8)n^2 - 3n - 1 > 0. これを解いて
n < 12 - 2√１７ または n > 12 + 2√１７.
これを満たす自然数は、n ≧ 21.

(4)
Sn に続いて S'n もか...
S'n = Σ[k=0..n-1] (1/n){ f(k/n) + f((k+1)/n) }/2
= (1/2){ Σ[k=0..n-1] (1/n)f(k/n) + Σ[k=0..n-1] (1/n)f(k+1) }
= (1/2){ Σ[k=0..n-1] (1/n)f(k/n) + Σ[k=1..n] (1/n)f(k) }
= (1/2){ Sn + Sn + (1/n)f(1) - (1/n)f(0) }
= (n-1)(4n+1)/4n^2 + (1/2)(3/2)/n - (1/2)0
より、
S - S'n = (S - Sn) - (S'n - Sn)
= (3n+1)/4n^2 - 3/4n
= 1/4n^2.

(5)
S - S'n = 1/4n^2 < 1/2^5 を解くと
|n| > 2√2.
これを満たす自然数は n ≧ 3.
以外なほど小さいが、小問(1)で既に S - S10 ≒ 1/13 だった
ことを思うと、こんなものか。

いやあ、がっつり計算させる問題だね。
高専の期末試験か何かかな？