微分について

x'=t/logx ただしx=x(t)の問題の答えは何になるでしょうか？
教えていただけるとありがたいです。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/13 13:58

x'というのが dx/dt という意味だとすると、変数分離という定番の方法を使って

　　∫ log(x) dx = ∫t dt
と書き換えられます。すると、C, C1, C2を定数として
　　∫ log(x) dx = x (log(x) - 1) + C1
　　∫t dt =(t^2)/2 + C2
なので
　　x (log(x) - 1) = (t^2)/2 + C
となるな。これを
　　x(t) = …
という格好にするには
　　f(x) = x (log(x) - 1)
の逆関数が必要で、これは初等関数じゃ表せないなー。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/13 14:17

t = (log x)(dx/dt) を t で積分して、

(1/2)t^2 = ∫(log x)dx です。
右辺の積分は結果がよく知られていますが、
改めて計算するなら、部分積分を使って
∫(log x)dx =∫1・(log x)dx = x log x - ∫x(1/x)dx = x logx - x + (定数).
普通はここまで、
(1/2)t^2 = x log x - x + C (Cは定数) で終わりですね。
この式を、初等関数を使って x = (tの式) と書くことはできません。

初等関数ではないが、有名な関数を使って変形することはできます。
(1/2)t^2 - C = (x/e) log(x/e) と変形できるので、
w = log(x/e) と置くと w e^w = { (1/2)t^2 - C }/e.
これは、ランベルトの W 関数によって
log(x/e) = w = W( { (1/2)t^2 - C }/e ) であることを表しています。
x = e^{ 1 + W( (1/2e)t^2 + D ) }　(Dは定数).

W 関数については、これ↓でも見てください。
http://gilbert.ninja-web.net/math/lambert.html