No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3補足
方程式の解がαとβである場合、因数はx-α、x-βとなることは知っていますよね
だから、x²-4の因数分解ではその解がα=-2,β=2であるから
因数はx-α=x-(-2)=x+2と
x-β=x-2
の2つで
x²-4=(x+2)(x-2)となるのです。
(知っているとは思いますが念のため)
No.3
- 回答日時:
例x²-4の因数分解
x²-4=0を解いてx=-2…①,x=2…②
これらの解を用いて
①よりx-(-2)が因数の1つ
②よりx-2が因数の1つ
ということでx²-4=={x-(-2)}(x-2)=(x+2)(x-2)
と因数分解できますよね。
方程式の解を用いる因数分解では、4次式で、かつ複素数の範囲の因数分解でも、要領はx²-4の因数分解と同じです
x⁴+4=0の解は画像の赤マーカーの直上に書かれているように4つで、1つ1つ書けば
x=-1+i,・・・A
x=-1-i,・・・B
x=1+i,・・・C
x=1-i・・・D
これらを用いてx⁴+1の因数は
x-(-1+i) Aより
x-(-1-i) Bより
x-(1+i) Cより
x-(1-i) Dより
の4つと分かるのでマーカーのような因数分解になります
No.2
- 回答日時:
ax²+bx+c=0
の解がt、sだった場合、
at²+bt+c=0
as²+bs+c=0
であるだけでは無く、
a(x-t)(x-s)=0
です。
x²+2x+2=0の解がt、sだったら、
x²+2x+2=(x-t)(x-s)=0
x²-2x+2=0の解がu、vだったら、
x²-2x+2=(x-u)(x-v)=0
です。
当然、
(x²+2x+2)(x²-2x+2)
={(x-t)(x-s)}{(x-u)(x-v)}
=0
となります。
逆から考えて、適当に数字をでっち上げて、
(x-5)(3x+4)=0
まずこれを展開してみて下さい。
次に、その二次式の解を出してみて下さい。
二次方程式の解と展開との関係はそうなっているし、また、解とグラフとx軸の関係も判ってなければなりません。中学数学か高校数学です。大学入試では頻出でしょう。
No.1
- 回答日時:
2次方程式、x²+ax+b=0の解をm,nと置くと
x²+ax+b=(x-m)(x-n)=0となる訳。
逆に、(x-m)(x-n)=0ならば、解はx=m,m=nになる。
x²+2x+2=0の解がx=-1±iなんだから、x²+2x+2={x-(-1+i)}{x-(-1-i)}
x²-2x+2=0の解がx=1±iなんだから、x²-2x+2={x-(1+i)}{x-(1-i)}
x⁴+4=(x²+2x+2)(x²+2x+2)だったから、そこへ上の結果を代入してる。
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