公理って何？

Question

再び初歩的質問です。

「公理」を辞典で調べますと、

・数学で、論証がなくても自明の真理として承認され、他の命題の前提となる根本命題。

・論理学で、演繹的理論の出発点として、証明なしに採用される命題。

・現代においては、自明な命題ではなく、理論の前提となる仮定。

等の記述があります。

1.学問がないので、いまいちピンとこないのですが、具体的にはどのようなものがあるの
でしょうか？そして、どう理解したらいいのでしょうか？

2.「理論の前提となる仮定」から組み立てられた理論というものが、自然科学においても
検証されるとはいえ、何故、事実・真実と言えるのでしょうか？

cyototu · Accepted Answer

公理で一番有名なのは、平行線公理（平行線公準とも呼ばれる）でしょう。

「一つの直線上にない一点を通ってその直線は一つしかない」

この命題を証明することはできません。以前はこれを証明しようと多くの数学の天才たちが試みました。しかし誰にも証明できなかった。ロバチェフスキーが1829年に『幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論』を発表して、彼が1826年に発見した新しい幾何学を提示して、上記の命題が証明不可能な公理であることが明らかになったのです。

ロバチェフスキーは、上記の命題の代わりに

（１）「一つの直線上にない一点を通ってその直線は何本でも引ける」

としても、数学的に無矛盾で閉じた論理体系を構築できることを明らかにしました。それがいわゆる非ユークリッド幾何学の始まりでした。この幾何学で表現されている空間は曲がった空間なのです。

その後に、リーマンが

（２）「一つの直線上にない一点を通ってその直線は一本も引けない」

としても、数学的に無矛盾で閉じた論理体系を構築できることを明らかにしました。この公理（２）が成り立つものとして構築された幾何学をリーマン幾何学と呼びます。一方、上記の公理（１）が成り立つものとして構築された幾何学をロバチェフスキー幾何学と呼びます。

さらに、リーマン幾何学の一つの具体的な例が球面状の幾何学であることもわかるようになりました。その場合この非ユークリッド幾何学を球面幾何学と呼ぶこともあります。

上記の事実の発見は、人類に多大な知的進展をもたらしました。なぜなら、自分の主張の論理的矛盾性をいかに証明しても、それでこの世界が解ったわけではないことが明らかになったからです。例えば、我々が埋め込まれている宇宙が上記のどの幾何学によって記述されている世界なのかは、論述の無矛盾性や整合性をいくら明らかにしても、判定できないことが明らかになったからです。

その判定には必ず実験や観測が必要である。すなわち論理的な理念の整合性に加え、事実はどうなのかを実験や観測で判定しなくてはならない。その判定をするのが自然科学なのです。そして数学は、命題の間の無矛盾性を論じる言語学であり、すなわち人文科学の一つであり、事実を論じる自然科学ではないことが明らかになったのです。

stomachman · Answer

1.については https://oshiete.goo.ne.jp/qa/43691.html
2.については https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2438487.html 
がご参考になるでしょう。（他にもいろいろ転がっていますが。）

cyototu · Answer

＞こうして知識が少しずつでも増えると、数学というものも実に興味深いものであり、哲学的なものだと思いますねえ。

図星！

この世の中を理解するには２つの要がある、一つは理念あるいは理屈であり、もう一つは事実である。理念を学ぶには哲学と数学を学び、事実を学ぶには歴史と自然科学を学ばにゃならん。あたしが常々若いもんにアカハラしながら発破かけるときに言ってることだ。

そうアカハラだ。あたしゃ、さんざ若いもんと議論してきたけど、ある経験則を見つけたんだね。どうやら人間て３０歳ごろに相転移を起こすようだ。３０歳以前に「お前は馬鹿ではないのか」って言うと其奴の励みになるんだね。なんとかしなくちゃって考えるようだ。でも、３０歳を過ぎた奴に同じこと言うと嫌われる。この人は私の能力を理解していないんだって考えるようだ。

何時迄も若くいたいもんだ。んで、この経験則から、何時迄も若くいる方法に気が付いたんだね。人から馬鹿にされたら、なんとかしなくちゃって考えれば良いんだって。あたしなんか、５０過ぎてあたしの先生と論文を書いている時に、先生が興奮して、結構辛辣にあたしの未熟さにケチをつけてきたことがあった。その議論が終わってから、先生に「あたしって幸運ですね。５０過ぎてからこれだけケチをつけてくれる人がいるなんて」って言ったら、先生は「え、俺そんなに興奮してたか、ケチなんかつけてないよ」って慌てた反応をしてたのが面白かった。

世の中、無視されるのが一番こたえる。アカハラされてるってことは無視されていないってことなんだけど、巷ではアカハラされて切れる奴はいるって言うニュースが時々出ている。あたしがいるアメリカでも卒業季節が近づいてくると博士課程にいる連中が時々切れたって言う話がニュースになる。アメリカじゃあ鉄砲持っているから、先生が殺されたって言うニュースだ。そんな時にニュースに出てくる切れた奴っていうのは大抵特亜系の東洋人なんだけど、ま、この２０年ほどであちらからアメリカにどっと流れ込んできたのもその理由の一つなんかね。

Mokuzo100nen · Answer

＞こうして知識が少しずつでも増えると、数学というものも実に興味深いものであり、哲学的なものだと思いますねえ。

御意！

Mokuzo100nen · Answer

No.6のcyototu先生、

読者の理解力を想定して投稿してくれろ（笑）
先生がいくら正しいことを言っても、読者が曲解する様な投稿はミスリードでんな。

cyototu · Answer

No.4 木造さん

私のあげた無限大の定義は、ε-δ論法を使った極限の定義を使った言い回しです。極限をとるという操作は、それに対応した数値に近づいてゆく操作なので、無限大という数字があるわけではなくて、これはその操作に関してのありようを述べたものです。

tanzou2 · Answer

1.学問がないので、いまいちピンとこないのですが、
具体的にはどのようなものがあるのでしょうか？
  ↑
（コピペ）
・命題 P が成立するなら、命題「PまたはQ」も成立する。
・2つの点が与えられたとき、その2点を通るような直線を引くことができる
（ユークリッド幾何学）。
・a=b なら、a+c = b+cである（ユークリッド原論を参照）。
・どんな自然数に対しても、その数の「次の」自然数が存在する（ペアノの公理）。
・どんなものも含まないような集合（空集合）が存在する（公理的集合論）。
・集合 S と条件式 P が与えられたとき、S の元のうち、条件 P(x) を満たすような x だけからなる集合を作ることができる（公理的集合論）。
・すべての集合 x に対して、x ∈   {\displaystyle \in }  \in U のようなグロタンディーク宇宙 U が存在する（グロタンディーク宇宙）。

どう理解したらいいのでしょうか？
　↑
理論の組み立てに必要だ、ということです。
ａだからｂ、ｂだからｃ　と因果の流れで組み立てるのが
理論です。
最初のａが必要で、それが証明出来ない場合が
公理になります。
公理がないと、理論の展開が出来ません。

なぜ人を殺してはいけないの？
これを理論で説明するのは困難です。
ウイトゲンシュタインも不可能としています。
なぜなら、公理となるものが無いからです。

2.「理論の前提となる仮定」から組み立てられた理論というものが、
自然科学においても検証されるとはいえ、
何故、事実・真実と言えるのでしょうか？
　↑
公理から演算された結論が正しいから、公理も
真実だろうと考える訳です。
だから、パラダイムを異にする場合は、根底から
理論がひっくり返ったりします。

Mokuzo100nen · Answer

1 例 どんな自然数にも、その次の大きさの自然数が存在する（ペアノの公理）

理解の仕方
あなたが思う最大の数を思い浮かべてもらい、その数に1を足したものは、無限大ではない。依然として有限の数ですね。

2 検証されたものを事実と呼ぶ習わしがあるからです。

varietyknowledge · Answer

>1.学問がないので、いまいちピンとこないのですが、具体的にはどのようなものがあるの
>でしょうか？そして、どう理解したらいいのでしょうか？

「公理」は平たく言えば「基本ルール」ですので、そう理解しておくと分かりやすいかと思います。

数学における、公理の例は、
・2つの点が与えられたとき、その2点を通るような直線を引くことができる。
・a=b なら、a+c=b+cが成立する。
等が挙げられます。
基本ルールを元に、数学の体系が作られ、さらに高度な体系が作られていきます。
その公理（基本ルール）では説明がつかないのであれば、公理の見直しもしくは新しい公理が提唱されることもあります。

>2.「理論の前提となる仮定」から組み立てられた理論というものが、自然科学においても
>検証されるとはいえ、何故、事実・真実と言えるのでしょうか？

自然科学において、検証結果と想定結果が同じ（一致性）し、第三者が行っても同じ結果（再現性）であれば事実・真実と認定され、理論の前提となる仮定は正しい、というルールにしているからです。

野波京子 · Answer

「何か」をＸとおきます。

Ｘを使用方法は「定理」と同じ。
Ｘの正しさは「証明のしようがない」。

これが「公理」の定義です。

さぁこの回答の真理は？

公理って何？

公理で一番有名なのは、平行線公理（平行線公準とも呼ばれる）でしょう。

1.については

＞こうして知識が少しずつでも増えると、数学というものも実に興味深いものであり、哲学的なものだと思いますねえ。

＞こうして知識が少しずつでも増えると、数学というものも実に興味深いものであり、哲学的なものだと思いますねえ。

No.6のcyototu先生、

No.4 木造さん

1.学問がないので、いまいちピンとこないのですが、

1 例 どんな自然数にも、その次の大きさの自然数が存在する（ペアノの公理）

>1.学問がないので、いまいちピンとこないのですが、具体的にはどのようなものがあるの

「何か」をＸとおきます。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

1 例どんな自然数にも、その次の大きさの自然数が存在する（ペアノの公理）