行を入れ替えると行列式が-1倍されるのはなぜでしょうか？

行を入れ替えると行列式が-1倍されるのはなぜでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 定義です.

  
    補足日時：2019/03/03 23:07

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/04 20:11

列の入れ替え ＝ 転置→行の入れ替え→転置

ですから、転置で行列式が変わらないことを示せば終わりです。
多重線形性を使った行列式の定義からこれを直に導くのは
やったことないですね(^^;

多重線形性を使った行列式の定義から、置換を使った定義を導く。
置換を使った定義から行列式が転置で変わらないことを導く

というのは、多くの線形代数の教科書に証明が載っていたと思います。
少なくともこれには載ってます。

https://www.amazon.co.jp/dp/4130620010/ref=asc_d …

No.11 回答者： uyama33 回答日時： 2019/03/04 17:40

この定義から、

転置行列と行列式が変わらない事を示す

のは、難しいと思うのですが、簡単に証明できますか？
やはり、
No.10　のような手順が必要になると思います。
Σ を用いた成分表記による定義ならば、行多重線形性は簡単に言えると思います。

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/04 14:20

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11006490.html
の No.1 に、列多重線型性から Σ を用いた成分表記による定義へ
移行する話のさわりをちょびっと書いておきました。これで一旦
成分表記による定義に移ったら、逆の手順で更に
行多重線型性による定義へ移ればよいです。
そのようにして、3つの定義の同等性が示されます。

No.9 回答者： uyama33 回答日時： 2019/03/04 07:22

行列及び行列式　　　藤原　著　岩波全書

の１７ページ
に証明があります。

ただし、
行列式の定義は、9ページに他の形で書かれています。
この定義の下、13ページに行や列の入れ替えで符号が変わることの証明がある。

あなたが書いた行列式の定義から、
行列式が9ページの形のもので書けることが証明できる。
そして、１３ページの証明から、行の入れ替えで符号が変わることが証明できる。

となります。

記号が複雑なのと、証明が長くなるので、勘弁してください。

この回答へのお礼

転置行列と行列式が変わらない事を示ば列で成り立つ事は行でも成り立つということだけでした...

お礼日時：2019/03/04 11:03

No.8 回答者： uyama33 回答日時： 2019/03/04 00:01

質問は行の入れ替えでしたね。

すぐには良い回答は思いつきませんが、
この定義から、
普通の行列式の定義を導くと
行の入れ替えで符号が変ることはいえると思いますが、
けっこう面倒です。

岩波の”行列及び行列式”に解説があったような気がします。
https://www.amazon.co.jp/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%8 …

ページについては明日記載します。

この回答へのお礼

証明にはなっていないですが2×2,3×3の場合に転置と列の入れ替えを繰り返せば出来ました.

お礼日時：2019/03/04 00:13

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/03 23:54

>列を入れ替えた時しか定義にかかれてないです.

意味がわかりませんが、

補足コメントの定義を「行列式」と呼んでいる

では答になりませんでしょうか?

もう少し定義を抽象化すると、「行列」すら定義から追出せます。
詳しくはこれを読んで欲しい。

https://www.amazon.co.jp/dp/4130620010/ref=asc_d …

この回答へのお礼

定義では列と列を入れ替えた場合行列式が-1倍されるとあって行を入れ替えたときではないですよね？

お礼日時：2019/03/03 23:59

No.6 回答者： uyama33 回答日時： 2019/03/03 23:50

この定義の場合は、

行列式を
行列に対して実数または複素数などを対応させる列に関する多重線形写像で
性質１，２，３を持つものとして
定義するのだと思います。

この立場では、
性質２が成り立つのは、それが行列式の定義の一部として最初から要求されているからだ。

というのが答えになります。

これが無いと

（ab
cd）= ad-bc

などを導けないのです。

他の行列式の定義の場合は、
性質１，２，３
は行列式の持つ性質となります。

この回答へのお礼

定義では列と列を入れ替えた場合行列式が-1倍されるとあって行ではないのでは？

お礼日時：2019/03/03 23:58

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/03 23:38

AN04さんへ。

多重線形性を「定義」にする流儀もあるのですよ。正則の定義が
沢山あるのと同じ。

この回答へのお礼

それで行の方は...

お礼日時：2019/03/03 23:49

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/03/03 23:17

それは定義ではなく、定義から導かれる「性質」です。

この回答へのお礼

これを定義としています.

お礼日時：2019/03/03 23:20

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2019/03/03 22:58

あなたが理解している、行列式の定義を書くか、

勉強している教科書名と行列式の定義が書いてあるページを記載するのが
解決の早道です。