場合の数 中学入試 5枚のカード

1から5の数字がひとつずつ書かれた5枚のカードがあります。

上段の左から①②③④⑤、下段の左からアイウエオとなっている表があります。①の下がアで⑤の下がオとなる五行二列の表です。

こんなイメージです。
①②③④⑤
アイウエオ

表の下段のアからオの位置に、5まいのカードを1枚ずつ置きます。
（1）カードの置き方は何通りありますか？ 答え。120通り。これはわかります。

（2）上段と数字と下段に入るカードの数字が一致する場所が、ちょうど2つとなるようなカードの置き方は全部で何通りありますか？答え 20通り。これもわかります。

（3）上段の数字と下段に入るカードの数字が一致する場所が、１つ以下となるようなカードの置き方は全部で何通りありますか？ 答え。89通り。考え方は、5つ一致が1通り、3つ一致が10通り、2つ一致が20通りだから、120-（1+10+20）=89
これはわかります。

この（3)を、１つ一致が何通りか？ 0個一致が何通りか？をそれぞれ出す方法で導きたいのです。これがわかりません。
教えて頂けますでしょうか。

質問者からの補足コメント

• (3)が素早いのは承知しているのですが、１つ一致が何通りか？ 0個一致が何通りか？を求めるチャレンジをしたいのです。しかしそれが分からず、知恵をお貸し頂きたく思います。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/05 08:59

No.2 ベストアンサー 回答者： 20170130 回答日時： 2019/03/05 14:17

中学入試レベルの説明になっているかが分かりませんが参考に

全体が一つのグループになっている場合の一致0個
イメージとして 23451
まずアに1以外　4通り
次にアに入った数の下に何が入れられるか考えて、これも1以外で 3通り
（1を使うとループが閉じて、全体が一つのグループではなくサブグループができる）
同様に順に考えていくと、2通り、1通りとなって
全体が一つのグループになっているときの一致0個は 4*3*2*1=24通り

全体が二つのグループになっている場合の一致0個
イメージとして21453
2個と3個のグループしかない　分け方5個から2個選ぶ 10通り
2個のグループで一致0個になる並べ方　1通り
3個のグループで一致0個になる並べ方　2通り
全体が二つのグループになっている場合の一致0個は 10*1*2=20通り

全体を三つ以上のグループに分けると1個のグループができて一致0個にはできない

以上から一致0個は　24+20=44通り


一致1個は
（一致1個の選び方=5通り）*（個数が4個の一致0個の場合の数）

個数が4個の一致0個の場合の数は
個数が5個のときと同様の考え方で
全体が一つのグループ 3*2*1=6
全体が二つのグループ　（4個を2個ずつの二つに分ける）*（2個を一致0に並べる）*（2個を一致0に並べる）
3*1*1=3

以上から4個の一致0個の場合の数は 6+3=9通り

5個の一致1個は 5*9=45通り


参考の参考ですが、n個の一致0の並べ方をN(n) と書けば
N(2)=1
N(3)=2 で
N(4)=3*(N(2)+N(3))=9
N(5)=4*(N(3)+N(4))=4*(2+9)=44
N(6)=265,,,,
となっていきます（完全順列で検索）

この回答へのお礼

誠にありがとうございました。

お礼日時：2019/03/05 21:05

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/05 14:31

n 枚が 1 個も一致しない場合の数は「モンモール数」といって

歴史的に有名です。n 枚の場合を c[n] 通りとすると、
c[n] = (n-1)(c[n-1] + c[n-2]) の漸化式が成り立ちます。
初期条件は、c[1] = 0, c[2] = 1 です。
c[n] を n で表す一般項の式は知られていません。

漸化式の導出は...
n 番目の位置に k 番(k≠n)のカードを置くとして、
k の選び方が n-1 通り。
n 番目の位置と k 番目の位置のカードを交換すると、

k 番目の位置のカードが n 番であった場合には、
n 番目と k 番目の位置を除く n-2 枚のカードが一致しないので
並べ方は c[n-2] 通り。

k 番目の位置のカードが n 番でなかった場合には、
n 番目の位置を除く n-1 枚のカードが一致しないので
並べ方は c[n-1] 通り。

以上より、c[n] = (n-1)(c[n-1] + c[n-2]) です。

このモンモール数を使って、この問題で
m 枚が一致する場合の数は、(5Ｃm) c[5-m] 通りとなります。
(3)の 20通り も、漸化式こそ使わないものの、
内容的に c[3] = 2 を考えて求めたのではないですか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/04 23:20

いや、(3)はその解法がかしこい。

一致する場所が減るほど、数えるのはたいへんになる。