数学の証明の中で疑問があります。

すみません。数学の証明で教えていただきたいことがあります。

問題として、集合Aが集合Bの部分集合（等しいか、完全に一部として含まれる）になることを
示す場合を考えます。

このとき、Aの「典型的な要素」aを想定して、これがBの要素になることを示せばよい
かと思われます。
質問1:
このとき、aは、Aの「代表的な要素」という言い方をしても良いのでしょうか？（言い方の問題です。
典型的な要素＝代表的な要素、と考えていいのでしょうか？おそらく同じ
ことを言ってると思うのですが、書籍によって表現がまちまちな気がします。一般的な言い方があれば教えて下さい。）
質問２:
また、このとき,
aには、Aに属するという性質以外を一切仮定してはいけませんよね？
（たとえば、Aに属するという性質に加えて、別の集合Cに属する性質をaに対して
勝手に考えてしまうと、aはもはやAの典型的な要素ではなく、Aのうち、Cに属さない要素を
表していないことになる。別の言い方をすると、A∧Cの典型的な要素を想定してしまったことに
なり、このようなaに対して、Bに含まれることを示せたとしても元の証明を行ったことに
ならないということかと思われます）

どうか、教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 

  記号書けると知りませんでした。ありがとうございます。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/23 17:18

• 

  1ある集合の代表的な要素を表す一般的な言い方は単に、任意の要素という言い回しが一般的
  ということですね？
  
  2なるほど、集合Aが完全に含まれるような集合の性質は、確かに任意のaに対しても当てはまりますね。
  お聞きしたかったのは、逆のパターンで、Aの任意のaに対して、Aに完全に含まれる真部分集合Cの性質を勝手に付け足して証明を進めてははいけない、ということでした。
  
  →字数オーバーのため、次の補足に続きを書きます。よろしくお願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/23 17:38

• 

  2続き→
  例えば、Aを整数全体として、Cをその一部である偶数全体とするような場合、aを勝手に偶数としてしまうと、aはもはやCの任意の要素ではあっても、Aの任意の要素にはなり得ないという意味です。
  つまり、この場合、（A∧C＝）Cの任意の要素aに対して、a∈Bを示したことになり、元の任意のAの要素aに対してa∈Bを示したことにならないということの確認でした。
  （もちろん、aをAの任意の要素として、奇数、偶数の場合分けを行ってa∈Bとすることは
  当然許されると思いますが。）
  
  再度、ご確認願えませんか？

    補足日時：2019/03/23 17:41

• 

  つまり、aは、Aの中なら、何でもよく、これがBに属するんだから、Aは完全にBに含まれる
  という考え方ですね？
  
  この場合、典型的な要素、や代表的な要素という言い回しは正しくなく、
  任意の要素、あるいは、ある要素、という言い方が正しいと言うことでしょうか？
  
  ご確認、よろしくお願いします。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/03/23 17:47

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/03/23 15:31

>>Aの「典型的な要素」a

文学じゃ無いので、普通はこういう言い方はしませんけど・・・

Aの「任意の要素」a　がBの要素で在る事を言いますが・・・。

>>Aに属するという性質以外を一切仮定せず・・・
そうとは言い切れません。

例えば偶数の要素aなら、もっと大きな「整数」の範疇なので、整数の性質を使っても構いません。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/03/23 15:58

言葉は誤解を生むので、a∈Ａ、ＡсＢと表します。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/03/23 17:10

まず、そもそも、「典型的な要素」aを想定するということ自体が全くの間違いです。

（「代表的な要素」という言い方も間違い。）

「任意の要素」を考えて、それがBの要素になることを示さないと無意味です。

どんな本を読んでいるか知りませんが、数学の証明をするのであれば、
「典型的な」とか「代表的な」といった表現はあり得ず、「任意の(要素)」か「ある(要素)」
という表現になります。

No.4 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2019/03/23 18:14

［その1］

>>1ある集合の代表的な要素を表す一般的な言い方は単に、任意の要素という言い回しが一般的
>>ということですね？

数学の「集合」の世界で何かを証明したいのであれば、「代表的な要素」などという情緒的・感情的な言い方は一切しないので、完全に忘れるべき。
（何を持って代表的とするのか、という定義がないでしょ）
「代表的な要素」というのは一般的な言い方ではなく、数学ではあり得ない言い方。
あり得るのは、「任意の要素」という言い方か、「ある要素」という言い方のいずれかのみ。

「任意の要素」というのは「全ての要素が」という趣旨で、「ある要素」というのは「何らかの条件等を満たす要素が（少なくとも1つ）存在する」という趣旨。

［その2］
>>つまり、aは、Aの中なら、何でもよく、これがBに属するんだから、Aは完全にBに含まれる
>>という考え方ですね？

ということではなく、Aの中にある「任意の要素」であるaに関して、それがBに属するのであるから、Aは完全にBに含まれるということ。

つまり、「Aの中なら、何でもよく、」ということではなくて、「Aの中の任意の（つまり、どんな風に選んでもその）要素」であるa
ということ。趣旨としては、「何でもよく」という考え方ではなく「全ての」ということ。

「どんな風に選んでもその要素aが」ということと、「Aの中の全ての要素が」ということは同じことでしょ。

［その3］
「書籍によって表現がまちまち」とのことですが、そもそもどんな書籍を読んでいるのですか？
まともな数学書なら、少なくとも証明の場面では、そんな表現をすることはあり得ないです。

「少なくとも証明の場面では」と書いたのは、証明の場面ではなく、何らかの集合Aを読者に判りやすく解説する場面では、
「代表的な要素」とか「典型的な要素」などという表現をすることはあり得ますが、証明の場面ではあり得ないです。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/03/24 07:52

誤解を与える回答でした。

謹んで謝ります。

では、言葉は誤解を生むので、a∈Ａ、ＡсＢ、Ａ∩Ｃ＝фと表します。

でどうでしょう。