四角で囲ったところって、tが0に近づいたら0になるんじゃないんですかね？ なんで−1になるのかがわか

四角で囲ったところって、tが0に近づいたら0になるんじゃないんですかね？

なんで−1になるのかがわかりません。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/04/09 11:33

t→0のときe^tは1に近づくので分子は0に近づきますよね。

分母は無論０に近づきます
従って、囲み部分は0/0に近づきます！
ここで仮に●/●が
・分子は0に近づき、分母が0以外の数字の例えば１に近づくケースでは、0/1に近づくことになるので全体として０に近づくことになります
・反対に分母が０、分子が１に近づくなら1/0に近づくことになります。
このとき、1/●=1÷●の●部分が０に近づくと、割る数が小さくなるので1/●全体としては（絶対値が）ドンドン大きくなることになります。つまり1/0=＋∞または-∞
このように●/●の形で、分子を０に近づけることは●/●を0に近づける効果を持ち、
反対に分母を０に近づけることは●/●を∞（-∞）に近づける効果を持ちます。
従って0/0のケースでは、0に近づける効果と∞（-∞）に近づける効果が競り合う事になり、容易に極限が求められないのです。このとき極限は、０に近づける効果の方が強いのか、それとも∞に近づける効果の方が強いのか、
という2者の力関係によって異なってくるのです。
この0/0のような形を不定型と言いこのままでは極限が定まりません。（極限を求めるには式変形などの工夫が必要となります）
だから、あなたが囲みが０に近づくと思っているのは間違いで、短絡的という事です。

よく見ると、囲み部分は「微分係数の定義の式」の形をしていますので本問はこれを利用できます
f(t)=e^tとおくと
微分係数の定義（参考書、教科書などで確認してみてください）より
Lim[t→0](e^t-1)/t=Lim[t→0]{f(t)-f(0)}/(t-0)=f'(0)
f'(t)=e^tなのでf'(0)=e⁰=1
画像ではこれに-の符号が付け加わるので
Lim[t→0]-(e^t-1)/t=-f'(0)=-1となりますよ^-^

No.6 回答者： koji25 回答日時： 2019/04/09 18:27

...これだと循環論法には一応なりませんので以下でいいでしょう

分母も分子も0になるので
分母と分子を微分すると(なんとかの定理です。名前忘れました)
-e^tで0をtに代入すると-1です...
ただこの方法は学校の先生に怒られそう
たしかネイピア数が出現する極限公式がありましたが忘れました（笑）

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/04/09 13:18

>tが0に近づいたら0になるんじゃないんですかね？

確かに、分子は０になりますね。

>なんで−1になるのかがわかりません。
でも同時に、分母も０になるからです。

0/0 がなんで−1になるのかについては、他の回答を参考にして下さい。

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/04/09 12:07

https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id= …

lim t→0 ( e^tー1)/t=1
ネイピア数の定義となる部分！教科書を参照！

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/04/09 10:06

テイラー展開すると

e＾ｔ＝1+ｔ+ｔ²/2!+t³/3!+・・・
ですから
-(e^t-1)/t
=-（t/t+t/2!+t²/3!+・・・)
ということになります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/09 10:02

e^t=Σ_{n=0～∞}t^n/n!=1+t+t^2/2+t^3/6+t^4/4!+t^5/5!+t^6/6!+…

だから
↓各辺から1を引くと
e^t-1=Σ_{n=1～∞}t^n/n!=t+t^2/2+t^3/6+t^4/4!+t^5/5!+t^6/6!+…
↓各辺をtで割ると
(e^t-1)/t=Σ_{n=1～∞}t^(n-1)/n!=1+t/2+t^2/6+t^3/4!+t^4/5!+t^5/6!+…
↓各辺に-1をかけると
-(e^t-1)/t=-Σ_{n=1～∞}t^(n-1)/n!=-1-t/2-t^2/6-t^3/4!-t^4/5!-t^5/6!-…
↓t→0に近づけると
lim_{t→0}-(e^t-1)/t
=lim_{t→0}-Σ_{n=1～∞}t^(n-1)/n!
=lim_{t→0}-1-t/2-t^2/6-t^3/4!-t^4/5!-t^5/6!-…
=-1