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- 回答日時:
普通に、順次微分するだけですよ。
xy + yz + zx = 1 を(y を固定して) x で偏微分すると、
y + y(∂z/∂x) + {(∂z/∂x)x + z・1} = 0 より
∂z/∂x = -(y+z)/(y+x).
対称性より同様に
∂z/∂y = -(x+z)/(x+y).
どう計算したのかは書いてありませんが、
あなたの Zx, Zy で結果は合っています。
2階偏微分も同じこと。
y + y(∂z/∂x) + (∂z/∂x)x + z = 0 を x で偏微分して、
y(∂^2z/∂x^2) + {(∂^2z/∂x^2)x + ∂z/∂x} + ∂z/∂x = 0 より
∂^2z/∂x^2 = -2(∂z/∂x)/(y+x) = 2(y+z)/(y+x)^2.
y + y(∂z/∂x) + (∂z/∂x)x + z = 0 を y で偏微分しても
x + z + y(∂z/∂y) + (∂z/∂y)x = 1 を x で偏微分しても同じ式が得られて
1 + {∂z/∂x + y(∂^2z/∂x∂y)} + (∂^2z/∂x∂y)x + ∂z/∂y = 0 より
∂^2z/∂x∂y = -(1 + ∂z/∂x + ∂z/∂y)/(y + x) = 2z/(x+y)^2.
x + z + y(∂z/∂y) + (∂z/∂y)x = 1 を y で偏微分して、
∂z/∂y + {(∂z/∂y) + y(∂^2z/∂y^2)} + (∂^2z/∂y^2)x = 0 より
∂^2z/∂y^2 = -2(∂z/∂y)/(y+x) = 2(x+z)/(x+y)^2.
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