ダランベールの解について １次元波動方程式の解は u (x,t) = g (x + kt) + f

ダランベールの解について

１次元波動方程式の解は
u (x,t) = g (x + kt) + f (x - kt)

(ダランベールの解)とあり、
この解法は変数変換で
ζ = x + kt
η = x - kt
より始まりますが、
この変数変換の発想はどのようにして思いつくものなのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/08 15:58

変数変換を思いつくというより、解が進行波の重ね合わせであることを思いついた

のではないかと思います。数学ではなく、物理学上の発想としてね。
波形を保ったまま時間移動する波は、速度を v として F(x-vt) と表せます。
この F が何個あっても、v が同じものは f(x-vt) とまとめられますから、
|v| = k であれば、v = -k のものと v = k のものをそれぞれまとめて
g(x+kt) + f(x-kt) と書けるでしょう。それが解であることを確認するのは計算ですが、
そもそも式変形から思いついた話ではないような気がします。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど。
偏微分方程式の型による
解の特性も違うようですから
そのあたりも関係ありそうとも
思いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2019/05/09 07:20

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/05/09 00:51

x と t による偏微分の順序を変えてもいい (つまり u_(xt) = u_(tx)) を仮定すると, 偏微分を「因数分解」でき

る.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2019/05/09 17:57