（大学数学）積分方程式の解の一意性についての問題です。

積分方程式の解の一意性についての問題です。

(問題)
実数値関数x(t)は区間[0,1]で連続、区間(0,1)で連続微分可能とする。
t∈(0,1)で次の条件(1),(2)を満たすx(t)がただ一つ存在することを示せ。(存在については示さなくてよい)
(1) x(t)=(1/t){Integral_{0}^{t}(exp(-x(s)/2))ds}
(2) x(t)≧0

微分方程式の一意性と思いリプシッツ条件を試そうにも1/tのせいでうまくいきませんでした。平均値の定理を使うのかもと思ってもみましたがうまくいきません。どのようにすればよいでしょうか？
積分方程式が分かりにくいかもしれませんので画像を添付しておきます。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  適当に正数εを取って不等式評価を行ってみますと、t∈(ε,1)のもとで、
  
  |f(t,x(t))-f(t,y(t))| ＜(1/t)|x-y| + (1/t)|e^(-x/2) - e^(-y/2)|
  ＜(2/t)|x-y| (∵e^(-x/2)についての平均値の定理)
  ＜(2/ε)|x-y|
  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　{|・|は実数におけるEuclid-normです。}
  
  となったのですが、ε→+0とすると(2/ε)→∞となってしまい、一意性がいえない気がします。うまく何かしらの条件をつけてεを取る必要があると思うのですがどのようにとればよいのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/04/25 23:16

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/25 22:10

与式両辺を t 倍してから t で微分し、変形整理すると、

dx/dt = f(t,x) = { e^(-x/2) - x } / t となります。
この一階正規形微分方程式に解の存在定理を適用しようということですね。

＞ リプシッツ条件を試そうにも1/tのせいでうまくいきません
とのことですが、t→+0 で | f(t,x1) - f(t,x2) | / | x1 - x2 | が非有界であることは、
解の存在定理を適用する邪魔にはなりません。
リプシッツ条件は、解上の各点の近傍で成立すればよいだけなので、
適当な正数 ε を定めて、 t > ε の範囲で条件が成立すれば
t > ε の範囲での解の一意存在が言えます。
それが言えてから、ε を +0 に近づけることを考えればいいのです。

この回答へのお礼

教えていただきありがとうございました。
ベストアンサーにさせていただきます。

お礼日時：2020/04/30 21:19

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/26 00:54

←補足

いやいや、その計算によって、
任意に固定した ε に対して t > ε の範囲で一意な解の存在が言える。
そして、その ε は 0 にどれだけ近くとってもよい... という話。
もちろん、ｔ ≧ 0 での解の存在は言えないが。