∫∫D logxy dxdy,D={(x,y)|1≦x≦e,1≦y≦e} ここで log(x,y)=

∫∫D logxy dxdy,D={(x,y)|1≦x≦e,1≦y≦e}
ここで
log(x,y)=logx+logy,∫logxdx=xlogx-xを用いよ

という問題です。どなたか教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/01 19:15

解き方が指定されている練習問題は、

オリジナリティーを見せようとしないで
言われたとおりに作業する。

∬(log xy)dxdy = ∬{ (log x)+(logy) }dxdy = ∬(log x)dxdy + ∬(logy)dxdy
= { ∫(log x)dx }{ ∫dy } + { ∫dx }{ ∫(log y)dy }
= [ x log x - x ][ y ] + [ x ][ y log y - y ]

積分領域に注意して、
与式 = [ x log x - x ]_(1,e) ・ [ y ]_(1,e) + [ x ]_(1,e) ・ [ y log y - y ]_(1,e)
= 2 { (e - e) - (0 - 1) } { e - 1 }
= 2(e - 1).