電磁気学の問いなのですが解き方がわからないので解説をいただきたいです。

電磁気学の問いなのですが解き方がわからないので解説をいただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/06/10 16:06

球対称だからガウスの法則を使う。

4πr²E=(1/ε₀)(∫[r=0→r]4πr²ρdr) → E=(1/ε₀)(∫[r=0→r]r²ρdr)/r²

●電界
1. b≦r
E₁=(1/ε₀)(∫[r=0→r]r²ρdr)/r²=(ρ₀/ε₀)(∫[r=a→b]r³dr)/r²=(ρ₀/ε₀)[r⁴/4][r=b,a]/r²
=(ρ₀/4ε₀)(b⁴-a⁴)/r²

2. a≦r≦b
E₂=(1/ε₀)(∫[r=0→r]r²ρdr)/r²=(ρ₀/ε₀)(∫[r=a→r]r³dr)/r²=(ρ₀/ε₀)[r⁴/4][r=r,a]/r²
=(ρ₀/4ε₀)(r⁴-a⁴)/r²=(ρ₀/4ε₀)(r²-a⁴/r²)

3. 0≦r≦a
E₃=(1/ε₀)(∫[r=0→r]r²ρdr)/r²=0 (ρ=0)

●電位
4. b≦r
V₁(r)=-∫[r=∞→r]E₁dr=-(ρ₀/4ε₀)(∫[r=∞→r](b⁴-a⁴)/r²dr=-(ρ₀/4ε₀)(b⁴-a⁴)[-1/r][r=r,∞]
=(ρ₀/4ε₀)(b⁴-a⁴)/r

5. a≦r≦b
V₂(r)=V₁(b)-∫[r=b→r]E₂dr=V₁(b)-(ρ₀/4ε₀)(∫[r=b→r](r²-a⁴/r²)dr
=V₁(b)-(ρ₀/4ε₀) [r³/3+a⁴/r][[r=r,b]
=(ρ₀/4ε₀)[(b⁴-a⁴)/b-{(r³/3+a⁴/r)-(b³/3+a⁴/b)}]
=(ρ₀/4ε₀)[b³-a⁴/b-(r³/3+a⁴/r)+(b³/3+a⁴/b)]=(ρ₀/4ε₀)[4b³/3-(r³/3+a⁴/r)]
=(ρ₀/4ε₀)(4b³/3-r³/3-a⁴/r)

6. 0≦r≦a
V₃(r)=V₂(a)-∫[r=a→r]E₃dr=V₂(a)-0=(ρ₀/4ε₀)(4b³/3-a³/3-a³)=(ρ₀/3ε₀)(b³-a³)