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この問題がちょっと分かりません:

一辺の長さが3である正四面体OABCがある。辺ABを1:2に内分する点をP、
辺OCを2:1に内分する点をQとする。

ベクトルPQの長さは?

ベクトルPQを、ベクトルOQとベクトルOPの差で表してベクトルOPは(2/3)OA+(1/3)OBと求めた後で、ベクトルPQの長さを計算するにはどうすればいいですか?

立てた式にそれぞれベクトルの長さを代入するわけにはいかないよね:/

勉強不足で大変申し訳ありませんが、お手伝いをお願いします

A 回答 (6件)

#5さま ご指摘ありがとうございました。



CO:CQ=3:1として計算します。(AB:AP=3:1と直しています)
一辺の長さが3である正四面体OABCの底面ABCから頂点Oの高さは、辺ABの中点を点R
頂点Oからの垂線と底面ABCの交点を点Hとすると高さ=√((OR)²ー(RH)²)、OR=3/2*√3
RH=3/2*√3*1/3(Hは底面ABCの重心から)=1/2*√3、よって、高さ=√6
底面ABCから点Qの高さは、点Qからの垂線と底面ABCの交点を点hとすると、ΔCOH∽ΔCQhから
OH:Qh=3:1からQh=1/3*OH=1/3*√6・・・①
Rh=RH+Hh=1/2*√3+3/2*√3*2/3*2/3=√3(1/2+2/3)=7/6*√3
またRP=2-3/2=1/2、よって三平方の定理からPh=√((Rh)²+(RP)²)=√(156)/6=√(39)/3・・・②
従って、①、②と三平方の定理からPQ=√((Ph)²+(Qh)²)=√(39/9+6/9)=√((45)/9)=√5・・答え

確かに分数になりません。
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この回答へのお礼

助かりました

ご回答をどうもありがとうございました!
なるほど、こんな解き方もありますね〜

お礼日時:2019/06/14 22:16

#4さま



>rnakamra様、お言葉ですが、あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。

すみません。
これは最終的な答え(PQの長さ)に分数が入らない、ということです。
高さQhやRhには分数が入ります。PQの長さだけ分数にはなりません。
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rnakamra様、お言葉ですが、あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。


その場合CO:CQ=3:2です。OH:Qhも3:2です。Qh=2/3*OHが分数にならない場合
OH=3になります。
一辺の長さが3である正四面体OABCの底面ABCから頂点Oの高さが3は無いでしょう。
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#2さんへ。



多分Qの位置を勘違いしています。
OCを2:1に内分する点ですからOQ:CQ=2:1→CO:CQ=3:1です。

あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。
(#1の方式で計算した場合、出てくる1/3は辺の長さの3で全て約分されてしまい√の中は分数になりません。cos60°=1/2も相異なる辺ベクトルの内積の係数に必ず2が入るため約分されこれも残りません。)
よく見ていませんが②の計算が間違っていると思います。
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どうしてもベクトルを使わないといけませんか?三平方の定理の方が楽です。

以下のように。
一辺の長さが3である正四面体OABCの底面ABCから頂点Oの高さは、辺ABの中点を点R
頂点Oからの垂線と底面ABCの交点を点Hとすると高さ=√((OR)²ー(RH)²)、OR=3/2*√3
RH=3/2*√3*1/3(Hは底面ABCの重心から)=1/2*√3、よって、高さ=√6
底面ABCから点Qの高さは、点Qからの垂線と底面ABCの交点を点hとすると、ΔCOH∽ΔCQhから
OH:Qh=3:2からQh=2/3*OH=2/3*√6・・・①
Rh=RH+Hh=1/2*√3+3/2*√3*2/3*1/3=√3(1/2+1/3)=5/6*√3
またRP=2-3/2=1/2、よって三平方の定理からPh=√((Rh)²+(RP)²)=√(84)/6=√3・・・②
従って、①、②と三平方の定理からPQ=√((Ph)²+(Qh)²)=√(3+24/9)=1/3*√(51)・・答え

どうですか、中学の知識で出来るでしょう。
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やり方だけ。



OP→の長さを求めてみましょう。
OP→=(2/3)OA→+(1/3)OB→
の長さを求めるにはその2乗を考えます。
|OP→|^2=OP→・OP→
と長さの2乗はそのベクトル2個の内積に等しい。この内積を計算すればよい。

OP→・OP→={(2/3)OA→+(1/3)OB→}・{(2/3)OA→+(1/3)OB→}=(4/9)OA→・OA→+(4/9)OA→・OB→+(1/9)OB→・OB→

OA→・OA→とOB→・OB→はそれぞれOA,OBの長さの2乗となります。
あとはOA→・OB→の内積ですが、これは正四面体の各面が正三角形であることから∠AOB=60°であることを利用して計算できる。

PQの長さも同様に計算できます。OA→,OB→,OC→とベクトルが3つになるので項数は増えますが計算はまったく同様になります。
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