ベクトル（正四面体）

この問題がちょっと分かりません：

一辺の長さが３である正四面体OABCがある。辺ABを１：２に内分する点をP、
辺OCを２：１に内分する点をQとする。

ベクトルPQの長さは？

ベクトルPQを、ベクトルOQとベクトルOPの差で表してベクトルOPは（2/3）OA+(1/3)OBと求めた後で、ベクトルPQの長さを計算するにはどうすればいいですか？

立てた式にそれぞれベクトルの長さを代入するわけにはいかないよね:/

勉強不足で大変申し訳ありませんが、お手伝いをお願いします

No.6 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/14 14:06

#５さま ご指摘ありがとうございました。

CO:CQ=3:1として計算します。（ＡＢ：ＡＰ＝３：１と直しています）
一辺の長さが３である正四面体OABCの底面ABCから頂点Ｏの高さは、辺ＡＢの中点を点Ｒ
頂点Ｏからの垂線と底面ABCの交点を点Ｈとすると高さ＝√((OR)²ー(RH)²)、ＯＲ＝3/2＊√3
ＲＨ＝3/2＊√3＊1/3(Hは底面ABCの重心から）＝1/2＊√3、よって、高さ＝√６
底面ABCから点Ｑの高さは、点Ｑからの垂線と底面ABCの交点を点ｈとすると、ΔＣＯＨ∽ΔＣＱｈから
ＯＨ：Ｑｈ＝３：１からＱｈ＝１/3＊ＯＨ＝１/3＊√６・・・①
Ｒｈ＝ＲＨ＋Ｈｈ＝1/2＊√3＋3/2＊√3＊2/3＊２/3=√3(1/2+２/3)=７/6＊√3
またＲＰ＝２－3/2=1/2、よって三平方の定理からＰｈ＝√((Rh)²+(RP)²)＝√(156)/6=√(39)/3・・・②
従って、①、②と三平方の定理からＰＱ＝√((Ph)²+(Qh)²)=√(39/9+6/9)=√((45)/9)=√5・・答え

確かに分数になりません。

この回答へのお礼

ご回答をどうもありがとうございました！
なるほど、こんな解き方もありますね〜

お礼日時：2019/06/14 22:16

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/14 08:17

#4さま

>rnakamra様、お言葉ですが、あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。

すみません。
これは最終的な答え(PQの長さ)に分数が入らない、ということです。
高さQhやRhには分数が入ります。PQの長さだけ分数にはなりません。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/14 07:27

rnakamra様、お言葉ですが、あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。

その場合CO:CQ=3:２です。ＯＨ：Ｑｈも３：２です。Ｑｈ＝２/3＊OHが分数にならない場合
ＯＨ＝３になります。
一辺の長さが３である正四面体OABCの底面ABCから頂点Ｏの高さが３は無いでしょう。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/13 14:42

#2さんへ。

多分Qの位置を勘違いしています。
OCを2:1に内分する点ですからOQ:CQ=2:1→CO:CQ=3:1です。

あと、もしもQがOCを1:2に内分する点である場合でも答えは分数にはなりません。
(#1の方式で計算した場合、出てくる1/3は辺の長さの3で全て約分されてしまい√の中は分数になりません。cos60°=1/2も相異なる辺ベクトルの内積の係数に必ず2が入るため約分されこれも残りません。)
よく見ていませんが②の計算が間違っていると思います。

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/13 07:42

どうしてもベクトルを使わないといけませんか？三平方の定理の方が楽です。

以下のように。
一辺の長さが３である正四面体OABCの底面ABCから頂点Ｏの高さは、辺ＡＢの中点を点Ｒ
頂点Ｏからの垂線と底面ABCの交点を点Ｈとすると高さ＝√((OR)²ー(RH)²)、ＯＲ＝3/2＊√3
ＲＨ＝3/2＊√3＊1/3(Hは底面ABCの重心から）＝1/2＊√3、よって、高さ＝√６
底面ABCから点Ｑの高さは、点Ｑからの垂線と底面ABCの交点を点ｈとすると、ΔＣＯＨ∽ΔＣＱｈから
ＯＨ：Ｑｈ＝３：２からＱｈ＝2/3＊ＯＨ＝2/3＊√６・・・①
Ｒｈ＝ＲＨ＋Ｈｈ＝1/2＊√3＋3/2＊√3＊2/3＊1/3=√3(1/2+1/3)=5/6＊√3
またＲＰ＝２－3/2=1/2、よって三平方の定理からＰｈ＝√((Rh)²+(RP)²)＝√(84)/6=√3・・・②
従って、①、②と三平方の定理からＰＱ＝√((Ph)²+(Qh)²)=√(3+24/9)=1/3＊√(51)・・答え

どうですか、中学の知識で出来るでしょう。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/13 07:20

やり方だけ。

OP→の長さを求めてみましょう。
OP→=(2/3)OA→+(1/3)OB→
の長さを求めるにはその2乗を考えます。
|OP→|^2=OP→・OP→
と長さの2乗はそのベクトル2個の内積に等しい。この内積を計算すればよい。

OP→・OP→={(2/3)OA→+(1/3)OB→}・{(2/3)OA→+(1/3)OB→}=(4/9)OA→・OA→+(4/9)OA→・OB→+(1/9)OB→・OB→

OA→・OA→とOB→・OB→はそれぞれOA,OBの長さの2乗となります。
あとはOA→・OB→の内積ですが、これは正四面体の各面が正三角形であることから∠AOB=60°であることを利用して計算できる。

PQの長さも同様に計算できます。OA→,OB→,OC→とベクトルが3つになるので項数は増えますが計算はまったく同様になります。