高校物理の問題になります

質量ｍの小球が円錐面上を円運動しているとします。
※円錐面のイメージは、下記ＵＲＬ参照ください。（図だけ借りています）
https://www.rikagasuki.com/2017-4a

小球の速度をｖ、円の半径をｒとします。物体には下記の３つの力が働きます
①遠心力 mv^2/r
②斜面下方向の力　mgcosθ
③垂直抗力 mgsinθ

円の中心方向につり合いにおいて、正しいのは次のどちらですか？
1
上記①～③がつりあっているので、
mv^2/r = mgsinθ・cosθ ＋ mgcos・sinθ

2
上記①と③がつりあっているので、
mv^2/r = mgsinθ・cosθ

もし２が正解の場合は、なぜ１ではだめなのかを教えてください。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/16 07:26

小球の速度をｖ、円の半径をｒとして、小球が円錐面上を円運動のできる条件は

滑り落ちる力＝ｍｇcosθと遠心力で滑り上がる力＝ｍｖ²/r＊sinθが等しい時です。
ｍｇcosθ=ｍｖ²/r＊sinθになります。
円錐面上での力のバランスなので、垂直抗力 mgsinθを考慮した式１，２共に間違いです。
ｍｇcosθ=ｍｖ²/r＊sinθからｒ＝ｖ²tanθ/gが得られます。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2019/06/16 09:34

垂直抗力をmgsinθであるときめつけている時点ですでに間違っています。

回転運動の結果としての遠心力が水平方向に働いておりその力の一部は小球が円錐の壁を押す力として作用しています。重力だけが壁を押しているわけでは無いのです。その結果垂直抗力はmgsinθよりも増加しているはずなのです。

この回答へのお礼

「遠心力も壁を押している」ということに、気づいておりませんでした。
大変勉強になりました。
分かりやすいご説明ありがとうございました。

お礼日時：2019/06/19 16:09

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/16 10:26

どちらもθ→0でv→0 になってしまう。

物理的にちょっと想像すれば θ→0でv→∞は明らかだから 不合格。

③が駄目。斜面の場合の垂直抗力の式を
コピーしているだけで何の根拠も無い。

束縛カの理解をもう少し深めるべき。

重カと垂直抗力の合力が

(1)水平になる
(2)遠心力と釣り合う

で解くべきで、その結果垂直抗力が決まる。
垂直抗力をFとすると、
(1)から、垂直方向は釣り合うはずなので
Fsinθ=mg → F=mg/sinθ

つまりθが小さいときは垂直抗力の
垂直成分(円錐面に垂直ではなく鉛直方向の成分)が小さくなるので
重力と対抗するには大きな力が必要になる。

(2)から
Fcosθ=mv^2/r →mg/tanθ=mv^2/r

これが水平方向の、回転座標系での釣り合いの式。

尚、遠心カを使うなら、何故コリオリの力を考えなくて良いのか
ー言は言及した方がよいと思う。

この回答へのお礼

ありがとうございます。現在、教えて頂いたことを理解しているところですが、
Fcosθ=mv^2/r　の部分について、No.4の方の回答（m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ）
と違っているように思います。
どちらの方が正しいでしょうか？

お礼日時：2019/06/16 14:07

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/16 13:26

図を書いて整理しましょう。

小球に働く力は重力mgと、小球に接している物（斜面）から受ける垂直抗力Fのみ
この段階では垂直抗力は不明なのでFとしておくのが適切
→下図の通り（矢印の長さは正確ではありません）

①もし、小球が円運動していないで図の位置にあるなら、垂直抗力はmgsinθの反作用ですからF=mgsinθ
ただし、斜面上向きの力が働かないので、その後小球は斜面を滑り落ちていきます。

②小球が等速円運動しているなら、小球に乗っかった人の立場から見れば遠心力が働くので①のときより小球は斜面に押し付けられる力が強まる！
従ってF>mgsinθ！　・・・このことから、垂直抗力(F)は現段階で具体的にどのような式になるか不明なのです。

よって、③垂直抗力 mgsinθは間違いです（下図に従えば、垂直抗力はF)
ゆえに「③垂直抗力 mgsinθ」を含む時点で
「1
上記①～③がつりあっているので、
mv^2/r = mgsinθ・cosθ ＋ mgcos・sinθ」は間違いです！

正しくは、
斜面下方向の力　mgcosθの水平成分と、垂直抗力Fの水平成分が 向心力 となる
→mgcosθsinθ+Fcosθ=m(v²/r)
または、小球の立場から見て遠心力と向心力（斜面下方向の力の水平成分と、垂直抗力の水平成分の和）が釣り合っているので
m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ
となります

従って　２も間違い

この回答へのお礼

ありがとうございます。図も書いていただき、感謝しております。
現在、教えて頂いたことを理解しているところですが、
m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ　の部分について、
No.3の方の回答（Fcosθ=mv^2/r）
と違っているように思うのですが、

どちらの方が正しいでしょうか？

お礼日時：2019/06/16 14:09

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/16 15:50

>No.4の方の回答（m(v²/r)=mgcosθsinθ+Fcosθ）

これは勘違いがあるようですね。

球にかかる力はあくまで

・真下へ向う重力
・水平左へ向う遠心力
・水平右よりθ上方向に向う垂直抗力F

の3つだけです。

mgcosθsinθは斜面を球が転がり落ちる時の
垂直抗力の水平成分。この問題では運動が異なるので
③と同じ理由で使えません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私自身の理解力が足らず、まだ、理解の半ばですが、
丁寧にご説明いただきまして、大変ありがとうございました。

お礼日時：2019/06/19 16:04