a[n]＝（9/10）・（1/10）ⁿ⁻¹という等比数列を考えてみたいのですが。

a[n]＝（9/10）・（1/10）ⁿ⁻¹という等比数列を考えてみたいのですが。

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Σ[k=1,10]（9/10）・(1/10)ⁿ⁻¹＝０．９９９９９９９９９９


Σ[k=1,∞]（9/10）・(1/10)ⁿ⁻¹＝０．９９９９９９９９９９・・・・・・


これって１じゃないっすよね。公式使えば1ですけど。

間違ってるのは公式で

正しくはは９が限りなく続くですよね？

質問者からの補足コメント

• 

  なぜ１と言えるのですか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/27 21:28

• 

  盲目的にlim[n→∞](1/10)^nを0にしていいのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/27 21:31

• 

  9/9は１ですね。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/27 21:37

• 

  まあ、一応「公式使えば１ですけど」って質問文では言ってるんですけどねｗ

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/27 23:32

• 

  9/9は１ですね～。
  
  しかし、限りなく続くものに１をかける、２をかける、８をかけるってどういうことですか？

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/06/28 19:55

No.9 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/06/28 11:20

数学には、公理、定義、定理があります。

0.9999...＝1　であるというのは、定理の部類に入ります。　これがなぜそうなるのかというのは、前提事項である公理、定義をしっかり理解してからでないと納得できる説明に習いのかもしれません。

簡単にいうと、＝（イコール）の定義は何でしょうというところがずれていると、同じ結論にたどり着けません。　ということは、どういう台集合を前提としたうえでの話なのかをまず決めましょうってことになります。　

四則演算の計算のみで証明するのも簡単ですが、それはある意味算術ですので、根拠と言われるとそうじゃないと困るって話にしかなっちゃうかもしれません。

No.8 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/06/28 09:56

No.4です

＞　9/9は１ですね。
えっ？

1/9 = 0.1111111...
2/9 = 0.2222222...
:
8/9 = 0.888888...
9/9 = 0.999999...

ではないのですか？

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/06/28 08:49

二つの数AとBが同じか異なるかを判断するにはA-Bが0か0ではないかを調べます。

1 - 0.99999999... = 0.00000000...

いつまでも0しか出てきませんね。ということはこれは0です。
ということは"1"と"0.9999..."は同じ数字だといえます。

この回答へのお礼

ええ、いつまでも０しか出てきません。今も明日も明後日も１年後も１００年後も１億年後も１兆年後も１００兆年後も０しか出てきません。


でもそれを確認する方法がないっすよね・・・・。

お礼日時：2019/06/28 19:51

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 23:42

＞まあ、一応「公式使えば１ですけど」って質問文では言ってるんですけどねｗ

公式使えば1だけど、公式が間違っていると思う ということは、
その公式が成り立つ根拠や適用できる範囲を理解していない というだけの話です。
勉強すればいいと思うので、何を勉強したらよさそうかを No.5 に書いてみました。
あなたには、難しいかもしれないけど。
こういうのって、勉強して理解するか、理解している人の言うことを信じるか
どっちかですからね。ただ「信じられん」じゃ、言ってることに意味がない。

公式使えば 1 で、正しくはは ９ が限りなくで、
実は、1 と (0. の後に ９ が限りなく数)は同じ数です。
間違ってるのは、あなたですよ。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 22:30

＞盲目的に lim[n→∞](1/10)^n を 0 にしていいのですか？

盲目的に 0 にするのではなく、0 であることを証明できるのですが、

その証明が理解できるだけの基礎知識を高校数学では習いません。
高校の教科書流に説明するなら、
「(1/10)^n は、n をどんどん大きくすると 0 にいくらでも近づくから
lim[n→∞](1/10)^n は =0 だ」ということになります。
何いってんのか、いまいちハッキリしない説明ですが、高校範囲に
縛って説明するなら、そうとしか言いようがありません。

この「どんどん〜いくらでも」をもう少し数学っぽい形式で書いたものが、
名前くらい聞いたことがあるかな？「εδ論法」というやつです。
lim[n→∞]a(n) = A を、「どんな正数 ε に対しても、
(n>N ならば |a(n)-A|<ε) となるような N があること」と定義します。
lim がきちんと形式的に定義されたので、もう「どんどん」とか「いくらでも」
とか曖昧な言葉の出る幕はありません。この流儀で行けば、
「正数 ε に対して N > log_10 (1/ε) の範囲に N をとれば
(n>N ならば |(1/10)^n - 0|<ε) が成立するので、lim[n→∞](1/10)^n = 0 である」
で終わりです。証明されたので、もう議論の余地はありません。
lim[n→∞](1/10)^n は、0 に近いのではなく、0 そのものなんです。

高校数学がちゃんと教えないので、誤解している人は少なくないのですが、
lim[n→∞]a(n) は、n をテキトーに大きくとった a(n) のどれかのことではありません。
n を大きくしていくと a(n) が近づいていくゴールの値のことです。
a(n) のどれかが lim[n→∞]a(n) と一致する必要はありません。
a(n) は lim[n→∞]a(n) に限りなく近づけばいいのです。
「限りなく近づく」ってどういうことかと言えば、εδ論法でいう「差がεより小さく」です。

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … という数列の項は、どれも 0 ではないけれど、
この数列が近づいてゆく先は、厳密に 0 です。
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, … という数列の項も、どれも 1 ではないけれど、
この数列が近づいてゆく先は、厳密に １ です。1 に近いナニカではないんです。

0.999… という表記と 1 という表記の字面が違うことに違和感があるのなら、
1/3 = 2/6 を思い出してみましょう。1/3 と 2/6 は、字面は違うけれど、同じ数です。

No.4 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/06/27 21:34

＞なぜ１と言えるのですか？

逆に質問

1/9 = 0.1111111...
2/9 = 0.2222222...
ですよね。

では、9/9 は？

No.3 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/06/27 21:13

＞これって１じゃないっすよね。

いいえ１ですよ

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/27 21:13

0.99999…と9が無限に続く場合、1と同じです。

この等比数列の和は、

(9/10)(1-(1/10)^n)/(1-(1/10))
=(9/10)(1-(1/10)^n)/(9/10)
=1-(1/10)^n

となり、

lim[n→∞] 1-(1/10)^n=1

となります。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/06/27 21:00

9が限りなく続くのは1です。