(3)の行列に基本変形を施し、その階数の求め方を教えてください。 どうしてもできません…

(3)の行列に基本変形を施し、その階数の求め方を教えてください。
どうしてもできません…

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/12 22:23

できないのと、面倒臭いからやりたくないのは、違うんだけどな。

　　a-1　　1　　2　　 1
　　-2　　a-1　　1　　1
　　-3　　 1　　a　　 １
　　-3　　 1　　2　　a-1
第2行から第1行を引く
第3行から第1行を引く
第4行から第1行を引く
　　a-1　　 1　　2　　　 1
　　-a-1　　a-2　-1　　　0
　　-a-2　　0　　a-2　　 0
　　-a-2　　0　　0　　　a-2
第3行から a-2 を括り出す　←[1]
第4行から a-2 を括り出す　←[2]
　　a-1　　 1　　　2　　 1
　　-a-1　　a-2　　-1　　0
　　　1　　0　　　1　　 0
　　　1　　0　　　0　　 1
第1行から第4行を引く
第1行から第3行の2倍を引く
第2行に第3行をたす
第1行と第2行を入れ替える　←[3]
　　-a　　a-2　　0　　0
　　a-4　　1　　 0　　0
　　　1　　0　　 1　　0
　　　1　　0　　 0　　1
第1行から第2行の a-2 倍を引く
　　-a^2+5a-8　　0　　0　　0
　　a-4　　 　　　1　　0　　0
　　　1　　　　　0　　1　　0
　　　1　　　　　0　　0　　1
この三角行列の det は、-a^2+5a-8.
ここまでの変形で、[1][2] で a-2 を
[3] で -1 を det から括り出しているから、
もとの行列の det は、(-a^2+5a-8)(-1)(a-2)^2 = (a^2-5a+8)(a-2)^2.

No.2 回答者： cage64 回答日時： 2019/07/12 22:26

第1列に、第2列、第3列、第4列を加える（全部横に加える；すると第1列が全部a-1 になる）。

第2行から第1行を引く
第3行から第1行を引く
第4行から第1行を引く
するとあら不思議、上三角行列になる。
これよりa=1の時ランクは３、a=2の時ランクは1,それ以外の時ランクは４．

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/07/16 15:16