ルベーグ積分画像の定理の証明で、（A－N)∪N=Aと直和分解されることから、⭐のように、変形してい

Question

ルベーグ積分
画像の定理の証明で、（A－N)∪N=Aと直和分解されることから、⭐のように、変形していますが、このようなことが出来る理由がわかりません。
二枚目のように、fがAで可測というだけでは、（A－N)とNで積分可能でないと、このような変形は出来ないと思います。
どなたか教えて下さい。

uyama33 · Accepted Answer

言葉を確認すると
積分可能（有限確定）
積分確定（+∞あるいは―∞あるいは有限確定）
積分を持たない（+∞ｰ∞の形になる）
の3種類がある。
等式は、どの場合でも成立します。
と主張している。

たとえば、
f+(プラスの記号は上に付く)の積分が、+∞で、
fー(マイナスの記号は上に付く)の積分が0
となる場合を考えると
問題の式の値は、全て+∞となり等号成立。

他の場合も同様に成立します。

ただし、
積分を持たないのに、等号を使うとは何事か！
との意見はあると思いますが、
同様の状態にある。または等しい値を持つ。
と言う意味の等号だと考えれば納得しやすいと思います。

ありものがたり · Answer

写真の引用は、正値関数が積分可能であることの定義から派生して、
実数値関数が積分可能であることを定義するところから始まっている。
では、正値関数が積分可能であるとは何だっただろうか。

可測空間 X 上で正の実数値をとる関数 f と X の可測集合 A について、
{y|y≦F} の A 内での原像 {f∈A|f(x)≦F} がどれも可測集合であることを
f は A 上で可測(積分可能)であると言ったのだった。

ここから自明に、A が可測集合の直和 A = B∪C であるとき、
A 上の正値可測関数 f は B,C 上でも正値可測関数となる。
{f∈B|f(x)≦F} = B∩{f∈A|f(x)≦F}　は、
A の σ集合族が ∩ で閉じていることから、やはり可測集合であるからだ。

これにより、f が A 上の可測関数であれば、直和分解 A = B∪C に対し、
f の正部分 f+(x) = max{ f(x), 0 } と
負部分 f-(x) = -max{ -f(x), 0 } は、どちらも B,C 上の可測関数であり、
f は B,C 上で可測ということになる。

ルベーグ積分 画像の定理の証明で、（A－N)∪N=Aと直和分解されることから、⭐のように、変形してい